Interested Article - Глоссарий теории узлов

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, использующихся в теории узлов . Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

А

Аддитивный инвариант: Числовой , значения которого складываются при узлов и зацеплений.
Альтернированная диаграмма: , при движении вдоль каждой которой проходы чередуются с переходами . Или, что то же самое, диаграмма, любая которой является единичной длины.
Альтернированное зацепление: , имеющее .
Альтернированный узел: Частный случай понятия для зацеплений.

Б

Брунново зацепление: , которое становится при удалении любой его .

В

Восходящая диаграмма: 1. , на которой можно выбрать такой упорядоченный набор точек, по одной на каждой её , что при последовательном прохождении этих компонент вдоль ориентации, начиная в очередной отмеченной точке, каждый перекрёсток проходится сначала по нижней ветви, а затем уже по верхней .; 2. , удовлетворяющая вышеописанному условию относительно хотя бы одной .

Г

Геометрический узел: 1. Непрерывное инъективное отображение $f\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ $f\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ окружности в трёхмерное евклидово пространство . Или, что то же самое, топологическое вложение окружности в $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ .; 2. Образ подобного топологического вложения $f\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ $f\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ . Иными словами, подмножество трёхмерного евклидова пространства, гомеоморфное окружности . Или, что то же самое, связное замкнутое одномерное подмногообразие евклидова пространства $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ .; Частный случай .
Геометрическое зацепление: 1. Непрерывное инъективное отображение $f\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ $f\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ дизъюнктного объединения конечного числа окружностей в трёхмерное евклидово пространство . Или, что то же самое, топологическое вложение конечного набора окружностей в $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ .; 2. Образ подобного топологического вложения $f\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ $f\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ . Иными словами, подмножество трёхмерного евклидова пространства, гомеоморфное дизъюнктному объединению конечного числа окружностей. Или, что то же самое, замкнутое одномерное подмногообразие евклидова пространства $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ .; Обобщение .
Гомотопность геометрических зацеплений: Два $f,g\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ $f,g\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ называются гомотопными , если существует такая гомотопия $F_{t}\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ $F_{t}\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ , параметризованная числом $t\in [0,1]$ $t\in [0,1]$ , что $F_{0}=f$ $F_{0}=f$ , $F_{1}=g$ $F_{1}=g$ и для каждого $t\in [0,1]$ $t\in [0,1]$ образы сужений отображения $F_{t}$ $F_t$ на различные окружности не пересекаются .
Граф Зейферта ориентированной диаграммы: Размеченный граф , определённым образом заданный . Его множество вершин совпадает с множеством всех диаграммы, а множество рёбер — с множеством её . Концами ребра считается пара вершин, представляющих собой окружности Зейферта, соединённые данным перекрёстком. Разметка графа Зейферта, по определению, состоит из указания того, какой тип имеет каждый перекрёсток диаграммы (положительный или отрицательный), и того, какое направление имеет каждая окружность Зейферта (по часовой стрелке или против). Последнее сопоставление представляет собой правильную раскраску вершин в два цвета. Тем самым, любой граф Зейферта является двудольным .
Группа симметрий: данного или . Представляет собой .
Группа зацепления: Фундаментальная группа данного . Представляет собой .
Группа классов конкордантности узлов: Абелева группа , состоящая из классов эквивалентности относительно с операцией . Её нейтральным элементом является класс .
: Факторгруппа по произведению коммутантов ядер гомомоморфизмов , индуцированных удалением данного . Представляет собой .
Группа узла: Частный случай понятия для зацеплений.
Гиперболический объём: Объём , являющегося данного или . Представляет собой .
Гиперболическое зацепление: , которого является .
Гиперболический узел: Частный случай понятия для зацеплений.
Гладкий геометрический узел: Частный случай понятия для геометрических зацеплений.
Гладкое геометрическое зацепление: , представляющее собой набор гладких замкнутых кривых.

Д

Движение Рейдемейстера: Один из трёх определённых типов . Первое движение представляет собой появление и исчезновение малой петли, второе — появление и исчезновение пары , а третье — прохождение некоторой нити над перекрёстком.; Также используется термин преобразование Рейдемейстера .
: 1. Подмножество евклидовой плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$ , получающееся из некоторой регулярной определёнными разрывами в её двойных точках. А именно, разрывами той ветви маленькой окрестности каждой двойной точки, прообраз в $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ которой имеет меньшую третью координату. Такую ветвь называют проход или нижняя ветвь , а оставшуюся — переход или верхняя ветвь .; 2. Класс эквивалентности регулярных плоских проекций, где эквивалентными называются такие проекции, которые получаются друг из друга .; Также используется термин плоская диаграмма .
Диаграмма замкнутой косы: 1. , у которой все вложены друг в друга и имеют одинаковое направление . Или, что то же самое, ориентированная диаграмма, полученная из некоторой диаграммы косы , ориентированной от начала её нитей к их концам, операцией .; 2. , удовлетворяющая вышеописанному условию относительно хотя бы одной . Или, что то же самое, диаграмма, полученная из некоторой диаграммы косы операцией замыкания Александера.
Дикий узел: Частный случай понятия для зацеплений.
Дикое зацепление: , не являющееся .
Дополнительное пространство: 1. Дополнение некоторого данного или до трёхмерного евклидова пространства $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ . Является некомпактным трёхмерным многообразием без края .; 2. Дополнение некоторого геометрического представителя зацепления до трёхмерной сферы $S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}$ $S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}$ .; 3. Дополнение внутренности зацепления до $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ . Является некомпактным трёхмерным многообразием, край которого гомеоморфен набору торов .; 4. Дополнение внутренности утолщения зацепления до $S^{3}$ $S^{3}$ . Является компактным трёхмерным многообразием, край которого гомеоморфен набору торов.; 5. топологического пространства , заданного одним из способов выше. Является .; Также используются термины дополнение и внешность .
Дуга диаграммы: Компонента связности .
Дуговой индекс: Наименьшее значение количества вертикальных (или, что то же самое, количества горизонтальных) звеньев среди всех данного или . Является .

З

Задача развязывания: Частный случай , в котором одно из зацеплений является .; В случае узлов также используются термины задача распознавания тривиального узла и проблема распознавания тривиального узла .
Задача распознавания: Задача разрешимости , заключающаяся в определении того, являются ли два заданных некоторым образом или .; Также используются термины проблема сравнения и проблема распознавания .
Закрученность ориентированной диаграммы: Разность между количеством положительных перекрёстков и количеством отрицательных перекрёстков .; Также используется термин индекс скрещивания .
Замыкание Александера: Определённое отображение из множества всех кос в множество .
Зацепление: Класс эквивалентности по отношению .; Обобщение .; Также используется термин цепь .
Зеркальный образ: 1. , получающееся из данной заменой типов всех , т. е. заменой проходов на переходы и наоборот без изменения диаграммы.; 2. или , получающееся из данного зацепления отражением относительно некоторой плоскости.; Также используется термин зеркальное отражение .
Зеркальное зацепление: , эквивалентное своему .; Также используются термины амфихиральное зацепление и ахиральное зацепление . Противоположное понятие — .
Зеркальный узел: Частный случай понятия для зацеплений.

И

Изотопность геометрических зацеплений: Два называются изотопными , если существует , переводящая первое геометрическое зацепление во второе.
Изотопность ориентированных геометрических зацеплений: Два называются изотопными , если существует , переводящая первое геометрическое зацепление во второе и совмещающая компонент первого зацепления с ориентацией компонент второго.
Изотопность ориентированных геометрических узлов: Частный случай понятия для зацеплений.
Изотопность геометрических узлов: Частный случай понятия для зацеплений.
Изотопность упорядоченных геометрических зацеплений: Два называются изотопными , если существует , переводящая первое геометрическое зацепление во второе и совмещающая порядок (нумерацию) первого зацепления с порядком компонент второго.
Изогнутость: Наименьшее значение вариации поворота среди всех данного . Является .
Инвариант: Произвольная функция, действующая из множества или . Или, что то же самое, функция, действующая из множества или , принимающая одинаковые значения на элементах .
Инвариант конечного типа: Элемент определённого семейства узлов и зацеплений.; Также используются термины инвариант конечного порядка , инвариант Васильева — Гусарова и инвариант Гусарова — Васильева .
: Элемент определённого семейства зацеплений .
Индекс косы: Наименьшее значение количества среди всех данного или . Является .; Также используется термин ‘’’число нитей’’’.

К

: Прямая, пересекающая данное или в ровно четырёх точках.
Классификация Тёрстона: Разбиение множества всех на , и , основанное на применении теоремы о геометризации к узла.
Кобордизм: 1. Компактная , ориентируемая поверхность $\Sigma$ $\Sigma$ , топологически вложенная в пространство $\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]$ $\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]$ , пересекающаяся с объединением $(\mathbb {R} ^{3}\times \{0\})\cup (\mathbb {R} ^{3}\times \{1\})$ $(\mathbb {R} ^{3}\times \{0\})\cup (\mathbb {R} ^{3}\times \{1\})$ по своему краю .; 2. Само такое топологическое вложение.; Кобордизм называется локально плоским или гладким в зависимости от того, является ли вложение или гладким .; Говорят, что кобордизм $\Sigma$ $\Sigma$ соединяет один или с другим, если у них имеются такие геометрические представители $L_{1}\subset \mathbb {R} ^{3}$ $L_{1}\subset \mathbb {R} ^{3}$ и $L_{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ $L_{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ , что $\Sigma \cap (\mathbb {R} ^{3}\times \{0\})=L_{1}\times \{0\}$ $\Sigma \cap (\mathbb {R} ^{3}\times \{0\})=L_{1}\times \{0\}$ и $\Sigma \cap (\mathbb {R} ^{3}\times \{1\})=L_{2}\times \{1\}$ $\Sigma \cap (\mathbb {R} ^{3}\times \{1\})=L_{2}\times \{1\}$ .; Если зацепления , предполагается, что ориентация поверхности согласована с ориентацией зацеплений, а точнее, последнее условие заменяется на $\Sigma \cap (\mathbb {R} ^{3}\times \{1\})=L_{2}^{rev}\times \{1\}$ $\Sigma \cap (\mathbb {R} ^{3}\times \{1\})=L_{2}^{rev}\times \{1\}$ , где $L_{2}^{rev}$ $L_{2}^{rev}$ — результат на $L_{2}$ $L_{2}$ .
Кобордизм-расстояние: 1. Топологическое кобордизм-расстояние — наименьшее значение рода локально плоского , соединяющего один или с другим.; 2. Гладкое кобордизм-расстояние — наименьшее значение рода гладкого кобордизма, соединяющего один узел или зацепление с другим.
Компонента диаграммы: 1. Объединение диаграммы, соответствующих некоторой зацепления.; 2. диаграммы некоторой зацепления.
Компонента зацепления: 1. Сужение данного на одну из окружностей.; 2. Компонента связности геометрического представителя данного зацепления.; 3. , соответствующий описанному выше геометрическому зацеплению .; Количество компонент зацепления является .
: 1. Два или называются топологически конкордантными , если между ними существует локально плоский , чей род равен нулю. Или, иными словами, если между ними равно нулю.; 2. Два узла или зацепления называются гладко конкордантными , если между ними существует гладкий кобордизм, чей род равен нулю . Или, иными словами, если между ними равно нулю.
: Определённый способ задать зацепления, представленного , образующими и соотношениями . В качестве образующих выступают петли , огибающие диаграммы, а в качестве соотношений — определённые тождества на .; Также используется термин задание Виртингера .
Короткое замыкание: Определённое отображение из множества всех кос в множество (от англ. short-circuit — короткое замыкание). Также используется термин замыкание Стенфорда — Мостового .
Коэффициент зацепления: 1. Определённый целочисленный .; 2. Инвариант двухкомпонентных (неориентированных) , равный абсолютному значению коэффициента зацепления, вычисленного относительно произвольной ориентации зацепления.

М

Меридианальная петля: Петля в зацепления, гомотопная меридиану одной из этого зацепления.
Меридианальный ранг: Наименьшее значение мощности порождающего множества , каждый элемент которого представляется . Является .
Моноид узлов: Коммутативный моноид , состоящий из всех с операцией .
Мост диаграммы: Дуга , содержащая хотя бы один . Длина моста — количество перекрёстков, которое он содержит.
Мутанты: Такая пара или , что первое зацепление можно получить из второго конечной последовательностью .
Мутация: Определённый тип .

Н

Несвязное объединение: Коммутативная бинарная операция на множестве всех , сопоставляющая паре зацеплений из $n$ $n$ и $m$ $m$ зацепление из $n+m$ $n+m$ компонент, заданное , полученным расположением геометрических представителей исходных зацеплений по разные стороны от некоторой плоскости .
Нисходящая диаграмма: 1. , на которой можно выбрать такой упорядоченный набор точек, по одной на каждой её , что при последовательном прохождении этих компонент вдоль ориентации, начиная в очередной отмеченной точке, каждый перекрёсток проходится сначала по верхней ветви, а затем уже по нижней .; 2. , удовлетворяющая вышеописанному условию относительно хотя бы одной .
: Определённый способ табуляции и .
: Определённый способ кодирования и .
: Определённый способ кодирования и .
Нотация Конвея: Определённый способ перечисления и .

О

Объемлющая изотопия: Такое непрерывное семейство гомеоморфизмов $f_{t}\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ $f_{t}\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ , параметризованное числом $t\in [0,1]$ $t\in [0,1]$ , что $f_{0}$ $f_0$ — тождественное отображение . Под непрерывностью семейства имеется в виду то, что отображение $\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}$ , заданное правилом $(x,t)\mapsto f_{t}(x)$ $(x,t)\mapsto f_{t}(x)$ , является непрерывным .; Путь , заданный формулой $t\mapsto f_{t}(x)$ $t\mapsto f_{t}(x)$ , называется траекторией движения точки $x\in \mathbb {R} ^{3}$ $x\in \mathbb {R} ^{3}$ под действием объемлющей изотопии $f_{t}$ $f_t$ .; Говорят, что объемлющая изотопия переводит подмножество $A\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ $A\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ в подмножество $B\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ $B\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ , если $f_{1}(A)=B$ $f_{1}(A)=B$ .; Также используется термин изотопическая деформация .
Обратимое зацепление: , имеющее в качестве представителя , результату всех его компонент .
Обратимый узел: Частный случай понятия для зацеплений.
Обращение ориентации: , заключающееся в замене всех или некоторых данного зацепления на противоположную.
Ограничивающее зацепление: называется ограничивающим (от англ. boundary link), если у него имеется такая локально плоская , что каждая её компонента связности содержит ровно одну компоненту края этой поверхности .
Окружность Зейферта ориентированной диаграммы: Любая из простых замкнутых ориентированных кривых, получающихся в разультате каждого перекрёстка .; Ориентация диаграммы задаёт направление на каждой окружности Зейферта. В соответствии с этим окружности Зейферта делятся на два типа: направленные по часовой стрелке и направленные против часовой стрелки.; Также используется термин цикл Зейферта .
Ориентация: 1. Ориентация геометрического узла — один из двух способов указать направление обхода окружности этого . Или, иными словами, ориентация соответствующего связного замкнутого одномерного многообразия .; 2. Ориентация геометрического зацепления — способ указать направление обхода каждой этого . Или, иными словами, ориентация соответствующего замкнутого одномерного многообразия.; 3. Ориентация диаграммы — способ указать направление обхода этой , согласованный с некоторой ориентацией соответствующего геометрического зацепления.
Ориентированная диаграмма: вместе с .; Каждый ориентированной диаграммы имеет один из двух типов: положительный перекрёсток — такой, что ориентация его нижней ветви (прохода) указывает налево от ориентации его верхней ветви (перехода); отрицательный перекрёсток — противоположное понятие.
Ориентированное геометрическое зацепление: вместе с .
Ориентированное зацепление: Класс эквивалентности по отношению .
Ориентированный геометрический узел: Частный случай понятия для зацеплений.
Ориентированный узел: Частный случай понятия для зацеплений.

П

Параллель узла

Параллель данного , которая удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

Её с самим узлом равен нулю .
Она совпадает с пересечением края утолщения узла и некоторой локально плоской этого узла.
Она гомологична нулю в узла. Или, что то же самое, представляет нулевой элемент в первой группе гомологий этого пространства.

Переключение перекрёстка

1. , заключающееся в смене типа некоторого (прохода на переход и наоборот).

2. , заключающееся в смене типа некоторого перекрёстка на некоторой диаграмме данного зацепления.

Также используются термины замена перекрёстка и переброска .

Перекрёсток диаграммы

1. Участок , полученный в результате разрыва нижней ветви на маленькой окрестности некоторой двойной точки регулярной .

2. То же, что и двойная точка регулярной плоской проекции.

Перешеек

, удаление которого увеличивает количество компонент связности её .

Также используется термин точка распадения .

Плетёное замыкание

Определённое отображение из множества всех кос в множество (от англ. plat — плетение).

Плоская изотопия

Такое непрерывное семейство гомеоморфизмов

f_{t}\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}

f_{t}\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}

, параметризованное числом

t\in [0,1]

t\in [0,1]

, что

f_{0}

f_0

— тождественное отображение . Под непрерывностью семейства имеется в виду то, что отображение

\mathbb {R} ^{2}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}

\mathbb {R} ^{2}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}

, заданное правилом

(x,t)\mapsto f_{t}(x)

(x,t)\mapsto f_{t}(x)

, является непрерывным .

Путь , заданный формулой

t\mapsto f_{t}(x)

t\mapsto f_{t}(x)

, называется траекторией движения точки

x\in \mathbb {R} ^{2}

x\in \mathbb {R} ^{2}

под действием плоской изотопии

f_{t}

f_t

.

Говорят, что плоская изотопия переводит подмножество

A\subseteq \mathbb {R} ^{2}

A\subseteq \mathbb {R} ^{2}

в подмножество

B\subseteq \mathbb {R} ^{2}

B\subseteq \mathbb {R} ^{2}

, если

f_{1}(A)=B

f_{1}(A)=B

.

Плоская проекция

Образ или относительно ортогональной проекции

\pi \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}

\pi \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}

трёхмерного евклидова пространства

\mathbb {R} ^{3}

\mathbb {R} ^{3}

на евклидову плоскость, заданной формулой

(x,y,z)\mapsto (x,y)

(x,y,z)\mapsto (x,y)

.

Ветвь плоской проекции — её подмножество, являющееся образом связного подмножества геометрического зацепления.

Кратностью или порядком точки на плоской проекции называется мощность её прообраза относительно ортогональной проекции

\pi

\pi

. Плоская проекция называется регулярной , если кратность каждой её точки не превосходит двух (т. е. равна единице или двойке), причем двойных точек (т. е. точек кратности два) лишь конечное число, и каждая из них представляет собой трансверсальное пересечение.

Образ относительно ортогональной проекции

\pi

\pi

является конечным набором замкнутых ломаных на плоскости. В этом случае при условии регулярности плоской проекции для трансверсальности достаточно того, чтобы кратность всех вершин ломаной была равна единице .

В случае при условии регулярности плоской проекции для трансверсальности достаточно того, чтобы касательные прямые в соответствующих двойной точке двух точках зацепления проецировались в две различные прямые на плоскости .

Полигональное геометрическое зацепление

, являющееся объединением конечного числа ломаных . Иными словами, конечный набор непересекающихся замкнутых несамопересекающихся ломаных в трёхмерном евклидовом пространстве

\mathbb {R} ^{3}

\mathbb {R} ^{3}

.

Полигональный геометрический узел

Частный случай понятия для геометрических зацеплений.

Полиномиальный инвариант

Тип узлов и зацеплений, принимающего значения в множестве многочленов .

Полноторий

Произведение

S^{1}\times D^{2}

S^{1}\times D^{2}

окружности и . Является компактным трёхмерным многообразием , край которого совпадает с тором

S^{1}\times \partial D^{2}

S^{1}\times \partial D^{2}

.

Меридиан полнотория — простая замкнутая кривая на его крае, имеющая вид

\{x\}\times \partial D^{2}

\{x\}\times \partial D^{2}

, где

x\in S^{1}

x\in S^{1}

.

Параллель полнотория — простая замкнутая кривая на его крае, имеющая вид

S^{1}\times \{x\}

S^{1}\times \{x\}

, где

x\in \partial D^{2}

x\in \partial D^{2}

.

Сердцевина полнотория — простая замкнутая кривая в его внутренности , имеющая вид

S^{1}\times \{x\}

S^{1}\times \{x\}

, где

x

x

— центр диска

D^{2}

D^{2}

.

Полный инвариант

, обладающий тем свойством, что если его значения на двух или совпадают, то либо такие зацепления совпадают, либо одно является другого.

Положительная диаграмма

, каждый перекрёсток которой является положительным.

Положительное зацепление

1. , имеющее .

2. , которое можно снабдить такой , что оно будет иметь .

Положительный узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Поверхность Зейферта

1. Компактная , ориентируемая поверхность , топологически вложенная в пространство

\mathbb {R} ^{3}

\mathbb {R} ^{3}

, краем которой является некоторый данного или .

2. Само такое топологическое вложение.

3. Аналогично определениям выше, но поверхность предполагается связной .

Поверхность Зейферта называется локально плоской или гладкой в зависимости от того, является ли вложение или гладким .

Если зацепление , предполагается, что ориентация поверхности согласована с ориентацией зацепления.

Преобразование геометрических узлов и зацеплений

Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно, многозначную ) из множества и в себя.

Преобразование диаграмм

Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно, многозначную ) из множества всех в себя.

Преобразование узлов и зацеплений

Произвольная геометрическая процедура, проводимая над геометрическими представителями и и задающая функцию (возможно, многозначную ) из множества узлов и зацеплений в себя.

Приведённая диаграмма

, не имеющая .

Простой узел

, который нельзя представить в виде связной суммы двух узлов .

узла

Прямоугольная диаграмма

Определённый тип диаграмм , а именно, диаграмма , на которой звенья (т. е. прямолинейные отрезки) чередуются между горизонтальными и вертикальными, причем верхние ветви всех вертикальны.

Р

, имеющее , которое лежит по разные стороны от некоторой плоскости.

Также используется термин расщепимое зацепление .

Разрешение перекрёстка

1. , заключающееся в ликвидации разрезанием обеих его ветвей в точке пересечения и последующим склеиванием их «наоборот» одним из двух возможных способов .

2. , заключающееся в разрешении некоторого перекрёстка на некоторой диаграмме данного зацепления.

Если диаграмма или зацепление снабжены , предполагается естественный выбор одного из двух способов ликвидации перекрёстка, а именно, такое однозначное разрешение, которое сохраняет ориентацию.

Также используются термины сглаживание перекрёстка , разведение перекрёстка и уничтожение перекрёстка .

Раскраска

Гомоморфизм из узла или зацепления в некоторую группу . Раскрашиваемость — существование подобного гомоморфизма. Раскрашиваемость, а также количество раскрасок заданного типа, являются .

Расслоенное зацепление

, чьё допускает структуру локально тривиального расслоения над окружностью . Или, что то же самое, чьё равно нулю.

Расслоенный узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Род Зейферта

Наименьшее значение рода гладкой данного или . Является .

Также используются термины трёхмерный род и просто род .

Ручное зацепление

, которое удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

Оно имеет регулярную . Или, что практически то же самое, её конечно, то есть оно имеет .
Оно имеет . Или, что практически то же самое, её конечно.
Оно имеет .
Оно имеет .

Ручной узел

Частный случай понятия для зацеплений .

С

Сателлитная операция

Определённый тип .

Сателлитный узел

, чье содержит существенный тор .

Определённая коммутативная бинарная операция на множестве всех .

Также используются термины произведение , композиция и конкатенация .

Скейн-соотношение

Определённый тип соотношений между значениями на , отличающихся друг от друга только в небольшой области.

Составной узел

, не являющийся .

Состояние диаграммы

Одна из

2^{n}

2^{n}

, полученных из данной диаграммы с

n

n

каждого её перекрёстка .

Схематичное изображение диска, гладко вложенного в четырёхмерное пространство $\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty)$ $\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty)$ и ограничивающего , существование которого подтверждает данного узла

Срезанное зацепление

1. называется топологически срезанным , если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

Оно .
Его равен нулю.
Существует такая , в пространство $\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty)$ $\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty)$ , что её пересечение с $\mathbb {R} ^{3}\times \{0\}$ $\mathbb {R} ^{3}\times \{0\}$ совпадает с её краем и имеет вид $L\times \{0\}$ $L\times \{0\}$ , где $L\subset \mathbb {R} ^{3}$ $L\subset \mathbb {R} ^{3}$ — данного зацепления.

2. Зацепление называется гладко срезанным , если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

Оно тривиальному зацеплению.
Его равен нулю.
Существует такая сфера с дырками, гладко вложенная в пространство $\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty)$ $\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty)$ , что её пересечение с $\mathbb {R} ^{3}\times \{0\}$ $\mathbb {R} ^{3}\times \{0\}$ совпадает с её краем и имеет вид $L\times \{0\}$ $L\times \{0\}$ , где $L\subset \mathbb {R} ^{3}$ $L\subset \mathbb {R} ^{3}$ — геометрический представитель данного зацепления.

1. Топологический срезанный род — , заданный одним из следующих эквивалентных определений:

Наименьшее значение рода , соединяющего данный или с .
от данного зацепления до тривиального.
Наименьшее значение рода такой компактной , ориентируемой поверхности $\Sigma$ $\Sigma$ , в пространство $\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty)$ $\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty)$ , что её пересечение с $\mathbb {R} ^{3}\times \{0\}$ $\mathbb {R} ^{3}\times \{0\}$ совпадает с её краем и имеет вид $L\times \{0\}$ $L\times \{0\}$ , где $L\subset \mathbb {R} ^{3}$ $L\subset \mathbb {R} ^{3}$ — данного зацепления.

2. Гладкий срезанный род — инвариант, заданный одним из следующих эквивалентных определений:

Наименьшее значение рода , соединяющего данный узел или зацепление с тривиальным.
от данного зацепления до тривиального.
Наименьшее значение рода такой компактной ориентируемой поверхности $\Sigma$ $\Sigma$ , гладко вложенной в пространство $\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty)$ $\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty)$ , что её пересечение с $\mathbb {R} ^{3}\times \{0\}$ $\mathbb {R} ^{3}\times \{0\}$ совпадает с её краем и имеет вид $L\times \{0\}$ $L\times \{0\}$ , где $L\subset \mathbb {R} ^{3}$ $L\subset \mathbb {R} ^{3}$ — геометрический представитель данного зацепления.

Также используется термин четырёхмерный род .

Срезанный узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Стандартно вложенная сфера с ручками

Край малой замкнутой окрестности произвольного графа, лежащего внутри некоторой плоскости в трёхмерном евклидовом пространстве .

Т

Перечисление всех или некоторых и без повторов в соответствии с некоторой мерой сложности , такой как .

Тень диаграммы

Образ ортогональной проекции, соответствующей .

Род Хегора данного или . Является .

Торический узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Торическое зацепление

1. , имеющее , который лежит на торе .

2. Элемент семейства так называемых торических зацеплений типа

(p,q)

(p,q)

, где

p,q\in \mathbb {Z}

p,q\in \mathbb {Z}

.

Тривиальное зацепление

, которое удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

Оно имеет , лежащего в некоторой плоскости.
Оно имеет , лежащего в некоторой плоскости.
Оно имеет с нулём .
Оно имеет диаграмму с нулём .
Оно имеет , лежащего в некоторой плоскости.
Его равно нулю.

Тривиальный узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Тройка Конвея

Тройка , совпадающих везде, за исключением некоторой маленькой области, в которой вторая диаграмма получается из первой перекрёстка, а третья — этого перекрёстка .

У

Узел: Класс эквивалентности по отношению .; Частный случай , а именно, зацепление.
Упорядоченное геометрическое зацепление: , чьи пронумерованы различными числами от единицы до их общего количества.
Упорядоченное зацепление: Класс эквивалентности по отношению .
Утолщение зацепления: каждой данного .
Утолщение узла: Образ такого топологического вложения $f\colon D^{2}\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ $f\colon D^{2}\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ в трёхмерное евклидово пространство , что его сердцевина отображается в некоторого данного .; Меридиан и параллель утолщения — образы меридиана и параллели полнотория относительно подобного топологического вложения.

Ф

: Определённый тип .; Также используется термин переворачивание .

Х

Хиральное зацепление: , не эквивалентное своему . Противоположное понятие — .
Хиральный узел: Частный случай понятия для зацеплений.

Ц

Циклическое накрытие: Элемент определённой серии накрытий данного или .

Ч

Число Морса — Новикова: Наименьшее значение количества критических точек среди всех функций Морса из данного или в окружность . Является .
Число мостов: Наименьшее значение количества среди всех диаграмм данного или . Является .
Число отрезков: Наименьшее значение количества звеньев (т. е. прямолинейных отрезков) среди всех представителей данного или . Является .
Число перекрёстков: Наименьшее значение количества среди всех данного или . Является .
Число развязывания: Наименьшее значение количества , которое требуется применить, чтобы превратить данное в . Является .; Также используются термины гордиево число и число заузленности .

Э

Элементарная изотопия: , заключающееся в замене звена (прямолинейного отрезка) $AB$ $AB$ на два звена $AC$ $AC$ и $CB$ $CB$ , а также обратное преобразование, осуществляемое при условии, что треугольник $ABC$ $ABC$ не пересекает остальные звенья полигонального зацепления по своей внутренности или границе .; Также используется термин элементарное преобразование .

Примечания

↑ , p. 18.
↑ , p. 5.
↑ , p. 6.
↑ , p. 284.
, p. 177.
↑ , p. 28.
, p. 36.
, p. 251.
↑ , p. 13.
, p. 42.
↑ , p. 13.
, p. 86.
, p. 39.
↑ , p. 4.
, p. 66.
, p. 80.
, p. 83.
, p. 22.
, p. 94.
, p. 3.
, p. 91.
, p. 37.
, p. 130.
, p. 53.
, p. 87.
, p. 20.
, p. 20.
, p. 24.
, p. 983.
, p. 5.
↑ , p. 61.
, p. 153.
, p. 72.
, p. 89.
, p. 17.
↑ , p. 16.
, p. 106.
, p. 23.
, p. 22.
, p. 77.
, p. 85.
, p. 25.
, p. 244.
, p. 19.
, p. 76.
, p. 79.
↑ , p. 21.
, p. 29.
, p. 31.
, p. 66.
, p. 90.
, p. 261.
, p. 14.
, p. 20.
, p. 14.

Литература

Мантуров, В. О. . Теория узлов (рус.) . — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3 .
Кроуэлл Р. Г. , Фокс Р. Х. . Введение в теорию узлов (рус.) . — Мир , 1967. — 348 с.
Сосинский, А. Б. (рус.) . — М. : МЦНМО , 2005. — 112 с. — ISBN 5-94057-220-0 .
Прасолов, В. В. , Сосинский, А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия (рус.) . — М. : МЦНМО , 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3 .

Ссылки

Milnor, J. W. (англ.) // Annals of Mathematics . — 1954. — March (vol. 59 , no. 2). — P. 177—195 . — doi : .
Кобельский, В. Л. . (рус.) // Известия Академии наук СССР. Серия математическая . — 1982. — Т. 46 , вып. 5 . — С. 983—993 . — doi : .
Meilhan, J.-B. . (англ.) . — 2018. — arXiv : .

[_d0ae1df424c7f310-1] , p. 18.

[_ee37a7aa0d081c3c-2] , p. 5.

[_ee37a7aa0d081c3f-3] , p. 6.

[_c32488dec69a20e7-4] , p. 284.

[_bbe7c223703930b0-5] , p. 177.

[_8452b8e1e8ea9461-6] , p. 28.

[_d0ae1ff424c7f6b8-7] , p. 36.

[_c32493dec69a33b5-8] , p. 251.

[_d0ae1df424c7f31b-9] , p. 13.

[_b91d8fc75f798d3f-10] , p. 42.

[_d94e3b1291b9eef1-11] , p. 13.

[_d94e441291b9fe3b-12] , p. 86.

[_d0ae1ff424c7f6b7-13] , p. 39.

[_ee37a7aa0d081c3d-14] , p. 4.

[_b91d8dc75f798991-15] , p. 66.

[_d0ae16f424c7e773-16] , p. 80.

[_b91d83c75f79789a-17] , p. 83.

[_8452b8e1e8ea946b-18] , p. 22.

[_b91d82c75f7976c2-19] , p. 94.

[_1f5343923be9c603-20] , p. 3.

[_d0ae15f424c7e5a1-21] , p. 91.

[_d0ae1ff424c7f6b9-22] , p. 37.

[_c31a81dec691c059-23] , p. 130.

[_d0ae21f424c7f9c7-24] , p. 53.

[_d0ae16f424c7e774-25] , p. 87.

[_d0ae20f424c7f871-26] , p. 20.

[_8452b8e1e8ea9469-27] , p. 20.

[_8452b8e1e8ea946d-28] , p. 24.

[_00a543d4057ce110-29] , p. 983.

[_1f5343923be9c605-30] , p. 5.

[_b91d8dc75f798996-31] , p. 61.

[_f9dd578d9ef10d86-32] , p. 153.

[_d0ae23f424c7fd68-33] , p. 72.

[_d0ae16f424c7e77a-34] , p. 89.

[_8452b5e1e8ea8f77-35] , p. 17.

[_8452b5e1e8ea8f76-36] , p. 16.

[_f9dd528d9ef10500-37] , p. 106.

[_d0ae20f424c7f872-38] , p. 23.

[_d0ae20f424c7f873-39] , p. 22.

[_d0ae23f424c7fd6d-40] , p. 77.

[_d94e441291b9fe38-41] , p. 85.

[_d0ae20f424c7f874-42] , p. 25.

[_c32494dec69a3503-43] , p. 244.

[_d0ae1df424c7f311-44] , p. 19.

[_b91d8cc75f7987c2-45] , p. 76.

[_d0ae23f424c7fd63-46] , p. 79.

[_d0ae20f424c7f870-47] , p. 21.

[_d0ae20f424c7f878-48] , p. 29.

[_d0ae1ff424c7f6bf-49] , p. 31.

[_d0ae24f424c7ff3b-50] , p. 66.

[_d0ae15f424c7e5a0-51] , p. 90.

[_c32496dec69a38ac-52] , p. 261.

[_d0ae1df424c7f31c-53] , p. 14.

[_b91d89c75f7982eb-54] , p. 20.

[_d94e3b1291b9eef6-55] , p. 14.

А

Б

В

Г

Д

З

И

К

М

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Э

Примечания

Литература

Ссылки

Глоссарий теории графов

Глоссарий теории графов

Same as Глоссарий теории узлов

Глоссарий теории узлов

Глоссарий теории групп

Глоссарий теории групп

Глоссарий теории групп

Глоссарий теории графов

Глоссарий теории групп

Глоссарий теории графов

Глоссарий теории графов

Глоссарий теории графов

Глоссарий теории групп

Глоссарий теории графов

Глоссарий теории графов

Глоссарий теории графов

Глоссарий теории графов

Глоссарий теории групп

Глоссарий теории групп