Крива́я постоя́нной ширины́ ${\displaystyle w}$ — плоская выпуклая кривая , длина ортогональной проекции ( диаметр Фере ) которой на любую прямую равна ${\displaystyle w}$ .

Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно ${\displaystyle w}$ — ширине кривой.

Связанные определения

• Фигурой постоянной ширины называется фигура, граница которой является кривой постоянной ширины.

Примеры

Фигурами постоянной ширины, в частности, являются круг и многоугольники Рёло (частный случай последних — треугольник Рёло ). Многоугольники Рёло составлены из фрагментов окружностей и не являются гладкими кривыми. Из сопряжённых фрагментов окружностей можно построить и гладкую кривую постоянной ширины (рисунок справа), но дальнейшее увеличение гладкости кривой на этом пути невозможно.

Функциональное представление

В отличие от приведенных выше простейших примеров, кривые постоянной ширины могут не совпадать с окружностью ни на каком конечном отрезке и быть везде сколь угодно гладкими. В общем виде фигура постоянной ширины ${\displaystyle w}$ c опорной функцией ${\displaystyle p(t)}$ задаётся параметрическими уравнениями

${\displaystyle x=p(t)\cos t-p'(t)\sin t,}$

${\displaystyle y=p(t)\sin t+p'(t)\cos t,}$

при условиях:

1. ${\displaystyle w=p(t)+p(t+\pi ),}$
2. полученная кривая является выпуклой.

Согласно элементарной тригонометрии , первому условию удовлетворяет ряд Фурье следующего вида:

${\displaystyle p(t)={\frac {w}{2}}+\sum \limits _{k=2}^{+\infty }a_{k}\cos \left((2k-1)t+\theta _{k}\right)}$ .

Если коэффициенты ряда убывают достаточно быстро, то результирующая кривая будет выпуклой (без самопересечений).

В частности, опорная функция ${\displaystyle p(t)=9+\cos(3t)}$ порождает кривую постоянной ширины, для которой найдено неявное представление в виде уравнения для полинома 8-й степени

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2})^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2}-3y^{2})^{3}}$

${\displaystyle +48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}+(x^{2}-3y^{2})x[16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382]-720^{3}=0.}$

Эта кривая в окрестности любой точки является аналитической функцией либо от x , либо от y и ни в какой окрестности не совпадает с окружностью.

Свойства

• У кривой постоянной ширины ${\displaystyle w}$ длина равна ${\displaystyle \pi w}$ ( теорема Барбье ).
• Центры вписанной и описанной окружностей кривой постоянной ширины совпадают, а сумма их радиусов равна ширине ${\displaystyle w}$ кривой.
• Фигура постоянной ширины ${\displaystyle w}$ может вращаться в квадрате со стороной ${\displaystyle w}$ , всё время касаясь каждой из сторон.
• Среди всех фигур данной постоянной ширины треугольник Рёло имеет наименьшую площадь, а круг — наибольшую.
• Любую плоскую фигуру диаметра ${\displaystyle w}$ можно накрыть фигурой постоянной ширины ${\displaystyle w}$ .

Применения

• Сверло , сделанное на основе треугольника Рёло , позволяет сверлить почти квадратные отверстия (с неточностью примерно в 2 % от площади квадрата).
• Некоторые монеты имеют форму правильного многоугольника постоянной ширины. Так, на семиугольнике построены монеты достоинством 20 и 50 пенни ( Великобритания ); 50 филсов ( ОАЭ ); 1 доллар ( Барбадос ); некоторые монеты Ботсваны номиналом в 5 и 25 тхебе , 1 и 2 пулы . Форму 11-угольника постоянной ширины имеют канадские монеты номиналом в 1 доллар (известные как « луни »).
• Двигатель Ванкеля использует в качестве поршня вращающийся внутри камеры треугольник Рёло, что позволяет сразу получать вращательное движение.
• Грейферные механизмы кулачкового типа в большинстве случаев строятся на основе плоского кулачка с профилем треугольника Рёло. Наиболее известные примеры: кинопроекторы «Луч» и «Украина» .

Вариации и обобщения

• Фигуры постоянной ширины можно определить как выпуклые фигуры, способные вращаться внутри квадрата, одновременно касаясь всех его сторон. Можно также рассматривать фигуры, способные вращаться, касаясь всех сторон некоторого ${\displaystyle n}$ -угольника, например, правильного ${\displaystyle n}$ -угольника. Такие фигуры называются роторами .
  • Например, двуугольник, образованный пересечением двух одинаковых кругов с углом при вершине, равным ${\displaystyle \pi /3}$ , является ротором равностороннего треугольника. Сверлом такой формы в принципе можно было бы сверлить треугольные отверстия без сглаженных углов.
  • Рассматривались фигуры вращающиеся внутри более общих фигур.

• У фигур постоянной ширины существуют многомерные аналоги, смотри Тело постоянной ширины .

Примечания

Литература

• Яглом И. М. , Болтянский В. Г. . — М. — Л. : ГТТИ, 1951. — 343 с. — (Библиотека математического кружка, вып. 4).