Interested Article - Группа (математика)

Гру́ппа в математике множество , на котором определена ассоциативная бинарная операция , причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный . Ветвь общей алгебры , занимающаяся группами, называется теорией групп .

Один из примеров группы — множество целых чисел , снабжённое операцией сложения : сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, роль нейтрального элемента играет ноль , а число с противоположным знаком является обратным элементом. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат . Благодаря определению группы через систему аксиом , не привязанной к специфике её элементов, создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры . Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.

Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований , оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии , помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени , а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц .

Понятие группы ввёл Эварист Галуа , изучая многочлены в 1830-е годы .

Современная теория групп является активным разделом математики . Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп , которая была завершена в 1981 году : доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве . С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп , изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты.

Определение

Множество с заданной на нём бинарной операцией : называется группой , если выполнены следующие аксиомы :

  1. ассоциативность : ;
  2. наличие нейтрального элемента : ;
  3. наличие обратного элемента : .

Последние две аксиомы можно заменить одной аксиомой существования операции обратной :

.

При этом вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального элемента и левого обратного элемента. При этом можно доказать, что они автоматически будут обычным нейтральным и обратным элементами .

Связанные определения

Группа и связанные с ней простейшие алгебраические структуры
  • В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности .
    • Пары элементов , для которых выполнено равенство , называются перестановочными или коммутирующими .
    • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы .
    • Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой .
  • Подгруппа — подмножество группы , которое является группой относительно операции, определённой в .
  • Порядок группы мощность (то есть число её элементов).
    • Если множество конечно, то группа называется конечной .
  • Гомоморфизмы групп — это отображения групп, которые сохраняют групповую структуру. То есть отображение групп называется гомоморфизмом , если удовлетворяет условию .
  • Две группы называются изоморфными , если существуют гомоморфизм групп и гомоморфизм групп , такие что и , где и . В этом случае эти гомоморфизмы называются изоморфизмами .
  • Для элемента левый смежный класс по подгруппе — множество , правый смежный класс по подгруппе — множество .
  • Нормальная подгруппа — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Для любого , .
  • Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой.

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением ; тогда применяется мультипликативная запись :

  • результат операции называют произведением и записывают или ;
  • нейтральный элемент обозначается « » или и называется единицей ;
  • обратный к элемент записывается как .

Если групповая операция именуется умножением , то саму такую группу при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: .

Кратные произведения , , записывают в виде натуральных степеней , , . Для элемента корректно определена целая степень, записывается следующим образом: , .

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно :

  • пишут « » и называют получившийся элемент суммой элементов и ;
  • нейтральный элемент обозначают как « » и называют его нулём ;
  • обратный элемент к обозначают как « » и называют его противоположным к элементом;
  • запись сокращают следующим образом: ;
  • выражения вида , , обозначают символами , , .

Если групповая операция именуется сложением , то саму такую группу при этом называют аддитивной и при полном способе записи обозначают так: . Этот термин относится только к способу записи операции в группе; он полезен, когда на множестве задано несколько операций. Например, можно говорить об аддитивной группе вещественных чисел или о мультипликативной группе положительных вещественных чисел . Кроме того, встречаются случаи, когда аддитивная группа изоморфна мультипликативной (см. Корни из единицы ).

Примеры

Группы применяются в различных областях математики. Например, в топологии , с введением понятия фундаментальной группы . Помимо теоретического применения групп существует множество способов применения групп на практике. К примеру, они применяются в криптографии , которая опирается на вычислительную теорию групп и знания в области алгоритмов .

Применение теории групп не ограничивается только математикой, её широко используют в таких науках как физика , химия и информатика .

Часы показывают время по модулю 12 . .
  • Целые числа по модулю — результатом сложения по модулю является остаток суммы при делении на . Множество целых чисел от до образует группу с этой операцией. Нейтральный элемент — , обратный элемент к является число . Наглядным примером такой группы

могут быть часы с циферблатом .

  • Целые числа с операцией сложения. — коммутативная группа с нейтральным элементом . Целые числа с операцией умножения не будут образовывать группу. Замкнутость, ассоциативность и существование нейтрального элемента будет иметь место, но не выполнится аксиома о существовании обратного элемента. Например, , тогда то есть . Обратный элемент не является целым числом .
  • Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность, а нейтральным элементом является единица .
  • Свободная группа с двумя образующими ( ) состоит из пустого слова (единица группы) и всех конечных слов из четырёх символов , , и таких, что не появляется рядом с и не появляется рядом с . Операция умножения таких слов — это просто соединение двух слов в одно с последующим сокращением пар , , и .
  • Симметрическая группа . Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой , или группой перестановок . Мощность конечной симметрической группы для множества из элементов равна . При эта группа не является абелевой . Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы ( теорема Кэли ) .
6 комплексных корней из единицы образуют циклическую группу
  • Циклические группы состоят из степеней одного элемента . Элемент называется образующим циклической группы. Циклические группы всегда коммутативны. Примером такой группы являются уже упомянутые целые числа по сложению. Циклической будет группа, состоящая из комплексных корней из единицы , то есть группа комплексных чисел , удовлетворяющих условию и операции умножения комплексных чисел . Мультипликативная конечная группа также является циклической. Например, является образующим элементом группы при :

Простейшие свойства

  • Для каждого элемента обратный элемент единственен.
  • Нейтральный элемент единственен:
    Если — нейтральные, то .
  • .
  • .
  • .
  • , для любого .
  • .
  • Верны законы сокращения :
    ,
    .
  • Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент .
  • Группа содержит единственное решение любого уравнения или ; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление» .
  • Пересечение двух подгрупп группы есть подгруппа группы .
  • Теорема Лагранжа : если — группа конечного порядка , то порядок любой её подгруппы является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы .
  • Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова .

Способы задания группы

Группу можно задать:

  • С помощью порождающего множества и набора соотношений между его элементами;
  • Факторгруппой , где — некоторая группа и — её нормальная подгруппа ;
  • Полупрямым произведением двух групп и, в частности,
    • Прямым произведением двух групп и , то есть множеством пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: ;
  • Свободным произведением двух групп: свободное произведение групп и есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих и , a система соотношений есть объединение систем соотношений и .

История

Современное понятие группы сформировалось из нескольких областей математики. Первоначальной движущей силой теории групп были поиски решений алгебраических уравнений степени выше четырёх. Французский математик 19-го века Эварист Галуа , доработав исследования Руффини и Лагранжа , дал критерий разрешимости конкретного алгебраического уравнения с точки зрения группы симметрии его решений. Элементы такой группы Галуа соответствуют определённым перестановкам корней . Идеи Галуа были отвергнуты современниками и опубликованы посмертно Лиувиллем в 1846 году. Опираясь на те же работы, что и Галуа, Коши подробно исследовал группы перестановок . Впервые понятие конечной группы вводит Артур Кэли в 1854 году в своей работе «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θ n = 1» ( англ. "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ n 1" ) .

Геометрия — вторая область, где группы применялись систематически, особенно группы симметрии как часть « Эрлангенской программы» немецкого математика Феликса Клейна . После возникновения новых разделов геометрии, таких как гиперболическая и проективная геометрии , Клейн использовал теорию групп для их лучшего согласования. Дальнейшее развитие этих идей приводит к введению понятия группы Ли в математику в 1884 году .

Третья область математики, поспособствовавшая развитию теории групп, — теория чисел . Некоторые абелевы группы были неявно использованы в работе Гаусса « Арифметические исследования » (1801). В 1847 году Эрнст Куммер сделал первые попытки доказать Великую теорему Ферма с помощью групп, описывающих разложения на простые числа. В 1870 году Кронекер обобщил работы Куммера и дал близкое к современному определение конечной абелевой группе .

Обособление теории групп началось с работы Камиля Жордана «Трактат о заменах и алгебраических уравнениях» (1870) . В 20 веке теория групп начала активно развиваться. Появились на свет пионерская работа Фробениуса и Бёрнсайда о представлении конечных групп , модульная теория представлений Ричарда Браура и записи Шура . Значительных успехов в изучении теории групп Ли и локально компактных групп достигли Вейль и Картан . Алгебраическим дополнением этих теорий стала теория алгебраических групп , впервые сформулированная Клодом Шевалле , позднее упоминаемая в работах Бореля и Титса .

В 1960—61 учебном году в Чикагском университете проходил год теории групп, который собрал вместе таких теоретиков как Даниель Горенстейн, Джон Томпсон и Уолтер Фейт, тем самым заложив фундамент сотрудничества большого числа математиков, которые впоследствии вывели теорему о классификации всех простых конечных групп в 1980-х годах. Этот проект превысил по своим размерам все предыдущие попытки классифицировать группы, как по длине доказательств, так и по количеству учёных, вовлечённых в эту работу. Текущие исследования направлены на упрощение классификации групп. В настоящее время теория групп продолжает активно развиваться и оказывать влияние на остальные разделы математики .

Вариации и обобщения

Группы с дополнительной структурой

Многие группы одновременно обладают какой-либо другой (дополнительной) математической структурой. На языке теории категорий это — групповые объекты в категории ; иными словами, это — объекты (то есть, например, множества, обладающие определённой математической структурой), для которых задан класс некоторых преобразований (именуемых морфизмами ), следующих аксиомам группы. В частности, всякая группа (в ранее определённом смысле) одновременно является множеством , так что группа есть групповой объект в категории множеств Set (морфизмы в этой категории — отображения множеств) .

Кольца

Кольцо множество , на котором определены бинарные операции коммутативного сложения и (не обязательно коммутативного) умножения, причём относительно сложения К образует группу, а умножение связано со сложением дистрибутивным законом.

Кольцо называют коммутативным и ассоциативным , если заданная на нём операция умножения коммутативна и соответственно ассоциативна. Элемент кольца называется единицей, если выполнено условие: , где — любой элемент кольца.

Числовые множества Z , Q , R являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей. Множество векторов с операцией векторного умножения является антикоммутативным кольцом (то есть ) в силу свойств векторного умножения : .

Поля

Поле — это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, причём относительно сложения образует группу, а ненулевые его элементы являются группой по умножению. Поле не может состоять из одного нуля. Множества рациональных и вещественных чисел являются полями. В любом поле только при и/или .

Топологические группы

Некоторые топологические пространства могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться топологической группой .

Именно, топологическая группа — это группа, являющаяся одновременно топологическим пространством , причём умножение элементов группы и операция взятия обратного элемента оказываются непрерывными отображениями в используемой топологии . Топологические группы являются групповыми объектами в топологических пространствах Top .

Наиболее важные примеры топологических групп — это аддитивная группа вещественных чисел , мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел , полная линейная группа , специальная линейная группа , ортогональная группа , специальная ортогональная группа , унитарная группа , специальная унитарная группа .

Группы Ли

Группа Ли (в честь Софуса Ли ) — это группа, которая одновременно является дифференцируемым многообразием над полем K (в роли последнего могут выступать поля вещественных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы и операция взятия обратного элемента оказываются гладкими отображениями (в комплексном случае требуется голоморфность введённых отображений). При этом всякая комплексная -мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности .

Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.

Естественным образом группы Ли возникают при рассмотрении непрерывных симметрий ; так, группу Ли образуют изометрии вида , где евклидово точечное пространство . Полученная группа, обозначаемая , является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы пространства , обозначаемой .

Группы Ли являются лучшими из многообразий в плане богатства имеющейся на них структуры и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии . Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике .

См. также

Примечания

  1. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 16. — 288 с. — 11 800 экз.
  2. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 9—14. — 288 с. — 11 800 экз.
  3. Israel Kleiner. (англ.) // Mathematics Magazine : журнал. — 1986. — October ( vol. 59 , no. 4 ). — P. 195—215 . — doi : .
  4. Только в 2005 году, согласно данным MathSciNet , было опубликовано более 2 тыс. исследовательских работ в области Group theory and generalisations .
  5. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию = Finite simple Groups. An Introduction to Their Classification / под ред. А.И. Кострикина. — Мир. — Москва: Мир, 1985. — С. 9—17. — 352 с. — 5250 экз.
  6. , с. 50.
  7. Натуральная степень элемента корректно определяется благодаря ассоциативности
  8. Корректность вытекает из единственности обратного элемента.
  9. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 18. — 288 с. — 11 800 экз.
  10. Hatcher Allen. Algebraic topology. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — P. 30. — ISBN 978-0-486-45868-7 .
  11. М. Вельшенбах. Глава 5. Модульная математика: вычисление в классах вычетов. // . — М. : «Триумф», 2004. — С. —84. — 464 с. — ISBN 5-89392-083-X .
  12. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 18—19. — 448 с. — ISBN 5-02-013916-5 .
  13. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 122—124. — 288 с. — 11 800 экз.
  14. Курош А. Г. Теория групп / под ред. Брудно К. Ф. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1967. — С. 34. — 648 с. — 20 000 экз.
  15. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 351. — 559 с. — 40 000 экз.
  16. Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 162—163. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7 .
  17. Schönert, Martin. (англ.) . Дата обращения: 19 июля 2013. 5 сентября 2013 года.
  18. Постников М. М. Теория Галуа. — Москва: Физматгиз, 1963. — С. 126—127. — 220 с. — 11 500 экз.
  19. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 17. — 288 с. — 11 800 экз.
  20. , с. 56.
  21. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 353. — 559 с. — 40 000 экз.
  22. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 24. — 288 с. — 11 800 экз.
  23. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 45—46. — 288 с. — 11 800 экз.
  24. Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е. — Факториал Пресс, 2001. — С. 409, 415. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7 .
  25. Ленг С. Алгбра. М. : Мир, 1964. С. 23.
  26. Ленг С. Алгбра. М. : Мир, 1964. С. 52.
  27. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 330—331. — 448 с. — ISBN 5-02-013916-5 .
  28. Cayley (1854) «On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ n = 1», Philosophical Magazine , 4th series, (42) : 40-47.
  29. Wussing, Hans. . — Review of General Psychology. — Нью-Йорк : Dover Publications , 2007. — P. 154. — ISBN 978-0-486-45868-7 .
  30. Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov. (англ.) // Notices of the American Mathematical Society : журнал. — 2005. — August ( vol. 52 , no. 7 ). — P. 728—735 . 26 сентября 2020 года.
  31. Wilson, Robert A. . — Graduate Texts in Mathematics. — Нью-Йорк: Springer-Verlag , 2009. — P. —5. — ISBN 978-1-84800-987-5 . — doi : .
  32. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 5. — 223 с. — 2800 экз.
  33. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 6. — 223 с. — 2800 экз.
  34. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 346—347. — 559 с. — 40 000 экз.
  35. Букур И., Деляну А. Введение // Введение в теорию категорий и функторов = Introduction to the theory of categories and functors / пер. с англ. Д. А. Райкова , В. Ф. Ретах . — М. : Мир, 1972. — С. 9—10. — 259 с.
  36. Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 14—15. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7 .
  37. Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 16. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7 .
  38. Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. М. : Наука, 1969.  С. 12.
  39. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М. : Наука, 1977.  С. 268—271.
  40. Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 501. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7 .
  41. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. М. : Наука, 1986. С. 201.
  42. Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия. М. : Наука, 1972. С. 129.
  43. Долгачёв И. В., Широков А. П. Аффинное пространство // Матем. энциклопедия. Т. 1. М. : Сов. энциклопедия, 1982. Стб. 362—363.

Литература

Научная литература

  • — 2-е изд. — М. : ИППИ РАН , 2010. — 320 с. — ISBN 978-5-901158-14-2
  • Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
  • Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
  • Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
  • Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
  • Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
  • Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.

Популярная литература

  • Александров П. С. . — Т. 7. — ( ).
  • Садовский Л., Аршинов М. // Квант . — 1976. — № 10 .
  • Группа // / Сост. А. П. Савин. — М. : Педагогика , 1985. — С. —94. — 352 с.
Источник —

Same as Группа (математика)