1.
, на которой можно выбрать такой упорядоченный набор точек, по одной на каждой её
, что при последовательном прохождении этих компонент вдоль ориентации, начиная в очередной отмеченной точке, каждый перекрёсток проходится сначала по нижней ветви, а затем уже по верхней
.
2.
, удовлетворяющая вышеописанному условию относительно хотя бы одной
.
2.
Образ
подобного топологического вложения
. Иными словами, подмножество трёхмерного евклидова пространства,
гомеоморфное
дизъюнктному объединению конечного числа окружностей. Или, что то же самое,
замкнутое
одномерное
подмногообразие
евклидова пространства
.
Обобщение
.
Гомотопность геометрических зацеплений
Два
называются
гомотопными
, если существует такая
гомотопия
, параметризованная числом
, что
,
и для каждого
образы
сужений
отображения
на различные окружности не пересекаются
.
Граф Зейферта ориентированной диаграммы
Размеченный
граф
, определённым образом заданный
. Его множество вершин совпадает с множеством всех
диаграммы, а множество рёбер — с множеством её
. Концами ребра считается пара вершин, представляющих собой окружности Зейферта, соединённые данным перекрёстком. Разметка графа Зейферта, по определению, состоит из указания того, какой тип имеет каждый перекрёсток диаграммы (положительный или отрицательный), и того, какое направление имеет каждая окружность Зейферта (по часовой стрелке или против). Последнее сопоставление представляет собой
правильную раскраску
вершин в два цвета. Тем самым, любой граф Зейферта является
двудольным
.
Один из трёх определённых типов
. Первое движение представляет собой появление и исчезновение малой петли, второе — появление и исчезновение пары
, а третье — прохождение некоторой нити над перекрёстком.
Также используется термин
преобразование Рейдемейстера
.
1. Подмножество евклидовой плоскости
, получающееся из некоторой регулярной
определёнными разрывами в её двойных точках. А именно, разрывами той ветви маленькой окрестности каждой двойной точки, прообраз в
которой имеет меньшую третью координату. Такую ветвь называют
проход
или
нижняя ветвь
, а оставшуюся —
переход
или
верхняя ветвь
.
2.
Класс эквивалентности
регулярных плоских проекций, где эквивалентными называются такие проекции, которые получаются друг из друга
.
Также используется термин
плоская диаграмма
.
Диаграмма замкнутой косы
1.
, у которой все
вложены друг в друга и имеют одинаковое направление
. Или, что то же самое, ориентированная диаграмма, полученная из некоторой
диаграммы косы
, ориентированной от начала её нитей к их концам, операцией
.
2.
, удовлетворяющая вышеописанному условию относительно хотя бы одной
. Или, что то же самое, диаграмма, полученная из некоторой диаграммы косы операцией замыкания Александера.
Два
называются
изотопными
, если существует
, переводящая первое геометрическое зацепление во второе и совмещающая
компонент первого зацепления с ориентацией компонент второго.
Два
называются
изотопными
, если существует
, переводящая первое геометрическое зацепление во второе и совмещающая порядок (нумерацию)
первого зацепления с порядком компонент второго.
Произвольная функция, действующая из множества
или
. Или, что то же самое, функция, действующая из множества
или
, принимающая одинаковые значения на
элементах
.
Кобордизм называется
локально плоским
или
гладким
в зависимости от того, является ли вложение
или
гладким
.
Говорят, что кобордизм
соединяет
один
или
с другим, если у них имеются такие
геометрические представители
и
, что
и
.
Если зацепления
, предполагается, что ориентация поверхности согласована с ориентацией зацеплений, а точнее, последнее условие заменяется на
, где
— результат
на
.
Кобордизм-расстояние
1.
Топологическое кобордизм-расстояние
— наименьшее значение
рода
локально плоского
, соединяющего один
или
с другим.
2.
Гладкое кобордизм-расстояние
— наименьшее значение рода гладкого кобордизма, соединяющего один узел или зацепление с другим.
Компонента диаграммы
1. Объединение
диаграммы, соответствующих некоторой
зацепления.
3.
, соответствующий описанному выше геометрическому зацеплению
.
Количество компонент зацепления
является
.
1. Два
или
называются
топологически конкордантными
, если между ними существует локально плоский
, чей
род
равен нулю. Или, иными словами, если
между ними равно нулю.
2. Два узла или зацепления называются
гладко конкордантными
, если между ними существует гладкий кобордизм, чей род равен нулю
. Или, иными словами, если
между ними равно нулю.
Определённый способ задать
зацепления, представленного
,
образующими и соотношениями
. В качестве образующих выступают
петли
, огибающие
диаграммы, а в качестве соотношений — определённые тождества на
.
Также используется термин
задание Виртингера
.
Короткое замыкание
Определённое отображение из множества всех
кос
в множество
(от
англ.
short-circuit
— короткое замыкание). Также используется термин
замыкание Стенфорда — Мостового
.
Коммутативная
бинарная операция
на множестве всех
, сопоставляющая паре зацеплений из
и
зацепление из
компонент, заданное
, полученным расположением геометрических представителей исходных зацеплений по разные стороны от некоторой плоскости
.
Нисходящая диаграмма
1.
, на которой можно выбрать такой упорядоченный набор точек, по одной на каждой её
, что при последовательном прохождении этих компонент вдоль ориентации, начиная в очередной отмеченной точке, каждый перекрёсток проходится сначала по верхней ветви, а затем уже по нижней
.
2.
, удовлетворяющая вышеописанному условию относительно хотя бы одной
.
, заключающееся в замене
всех или некоторых
данного зацепления на противоположную.
Ограничивающее зацепление
называется
ограничивающим
(от
англ.
boundary link
), если у него имеется такая локально плоская
, что каждая её
компонента связности
содержит ровно одну компоненту
края
этой поверхности
.
Окружность Зейферта ориентированной диаграммы
Любая из простых замкнутых ориентированных кривых, получающихся в разультате
каждого перекрёстка
.
Ориентация диаграммы задаёт направление на каждой окружности Зейферта. В соответствии с этим окружности Зейферта делятся на два типа: направленные по часовой стрелке и направленные против часовой стрелки.
Также используется термин
цикл Зейферта
.
Ориентация
1.
Ориентация геометрического узла
— один из двух способов указать направление обхода окружности этого
. Или, иными словами,
ориентация
соответствующего
связного
замкнутого
одномерного
многообразия
.
2.
Ориентация геометрического зацепления
— способ указать направление обхода каждой
этого
. Или, иными словами, ориентация соответствующего замкнутого одномерного многообразия.
3.
Ориентация диаграммы
— способ указать направление обхода
этой
, согласованный с некоторой ориентацией соответствующего геометрического зацепления.
Определение типа перекрёстков
: слева — положительный перекрёсток, а справа — отрицательный.
Ориентированная диаграмма
вместе с
.
Каждый
ориентированной диаграммы имеет один из двух типов:
положительный перекрёсток
— такой, что ориентация его нижней ветви (прохода) указывает налево от ориентации его верхней ветви (перехода);
отрицательный перекрёсток
— противоположное понятие.
Ветвь
плоской проекции — её подмножество, являющееся образом связного подмножества геометрического зацепления.
Кратностью
или
порядком
точки на плоской проекции называется
мощность
её
прообраза
относительно ортогональной проекции
. Плоская проекция называется
регулярной
, если кратность каждой её точки не превосходит двух (т. е. равна единице или двойке), причем двойных точек (т. е. точек кратности два) лишь конечное число, и каждая из них представляет собой
трансверсальное
пересечение.
Образ
относительно ортогональной проекции
является конечным набором замкнутых
ломаных
на плоскости. В этом случае при условии регулярности плоской проекции для трансверсальности достаточно того, чтобы кратность всех вершин ломаной была равна единице
.
В случае
при условии регулярности плоской проекции для трансверсальности достаточно того, чтобы
касательные прямые
в соответствующих двойной точке двух точках зацепления проецировались в две различные прямые на плоскости
.
Полигональное геометрическое зацепление
, являющееся объединением конечного числа
ломаных
. Иными словами, конечный набор непересекающихся замкнутых несамопересекающихся ломаных в трёхмерном
евклидовом пространстве
.
Полигональный геометрический узел
Частный случай понятия
для
геометрических зацеплений.
3. Аналогично определениям выше, но поверхность предполагается
связной
.
Поверхность Зейферта называется
локально плоской
или
гладкой
в зависимости от того, является ли вложение
или
гладким
.
Если зацепление
, предполагается, что ориентация поверхности согласована с ориентацией зацепления.
Преобразование геометрических узлов и зацеплений
Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно,
многозначную
) из множества
и
в себя.
Преобразование диаграмм
Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно,
многозначную
) из множества всех
в себя.
Преобразование узлов и зацеплений
Произвольная геометрическая процедура, проводимая над геометрическими представителями
и
и задающая функцию (возможно,
многозначную
) из множества узлов и зацеплений в себя.
, который нельзя представить в виде связной суммы двух
узлов
.
узла
Прямоугольная диаграмма
Определённый тип
диаграмм
, а именно, диаграмма
, на которой звенья (т. е. прямолинейные отрезки) чередуются между горизонтальными и вертикальными, причем верхние ветви всех
вертикальны.
Р
, имеющее
, которое лежит по разные стороны от некоторой плоскости.
Также используется термин
расщепимое зацепление
.
Разрешение перекрёстка
1.
, заключающееся в ликвидации
разрезанием обеих его ветвей в точке пересечения и последующим склеиванием их «наоборот» одним из двух возможных способов
.
2.
, заключающееся в разрешении некоторого перекрёстка на некоторой диаграмме данного зацепления.
Если диаграмма или зацепление снабжены
, предполагается естественный выбор одного из двух способов ликвидации перекрёстка, а именно, такое однозначное разрешение, которое сохраняет ориентацию.
Также используются термины
сглаживание перекрёстка
,
разведение перекрёстка
и
уничтожение перекрёстка
.
Гомоморфизм
из
узла или зацепления в некоторую
группу
.
Раскрашиваемость
— существование подобного гомоморфизма. Раскрашиваемость, а также количество раскрасок заданного типа, являются
.
Определённый тип соотношений между значениями
на
, отличающихся друг от друга только в небольшой области.
Составной узел
, не являющийся
.
Состояние диаграммы
Одна из
, полученных из данной диаграммы с
каждого её перекрёстка
.
Срезанное зацепление
1.
называется
топологически срезанным
, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
Оно
.
Его
равен нулю.
Существует такая
,
в пространство
, что её пересечение с
совпадает с её
краем
и имеет вид
, где
—
данного зацепления.
2. Зацепление называется
гладко срезанным
, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
Оно
тривиальному зацеплению.
Его
равен нулю.
Существует такая сфера с дырками,
гладко вложенная
в пространство
, что её пересечение с
совпадает с её краем и имеет вид
, где
— геометрический представитель данного зацепления.
1.
Топологический срезанный род
—
, заданный одним из следующих эквивалентных определений:
Наименьшее значение
рода
, соединяющего данный
или
с
.
2.
Гладкий срезанный род
— инвариант, заданный одним из следующих эквивалентных определений:
Наименьшее значение рода
, соединяющего данный узел или зацепление с тривиальным.
от данного зацепления до тривиального.
Наименьшее значение рода такой компактной ориентируемой поверхности
,
гладко вложенной
в пространство
, что её пересечение с
совпадает с её краем и имеет вид
, где
— геометрический представитель данного зацепления.
Тройка
, совпадающих везде, за исключением некоторой маленькой области, в которой вторая диаграмма получается из первой
перекрёстка, а третья —
этого перекрёстка
.
Наименьшее значение количества
, которое требуется применить, чтобы превратить данное
в
. Является
.
Также используются термины
гордиево число
и
число заузленности
.
Э
Элементарная изотопия
, заключающееся в замене звена (прямолинейного отрезка)
на два звена
и
, а также обратное преобразование, осуществляемое при условии, что
треугольник
не пересекает остальные звенья полигонального зацепления по своей внутренности или границе
.
Также используется термин
элементарное преобразование
.
Примечания
↑
, p. 18.
↑
, p. 5.
↑
, p. 6.
↑
, p. 284.
, p. 177.
↑
, p. 28.
, p. 36.
, p. 251.
↑
, p. 13.
, p. 42.
↑
, p. 13.
, p. 86.
, p. 39.
↑
, p. 4.
, p. 66.
, p. 80.
, p. 83.
, p. 22.
, p. 94.
, p. 3.
, p. 91.
, p. 37.
, p. 130.
, p. 53.
, p. 87.
, p. 20.
, p. 20.
, p. 24.
, p. 983.
, p. 5.
↑
, p. 61.
, p. 153.
, p. 72.
, p. 89.
, p. 17.
↑
, p. 16.
, p. 106.
, p. 23.
, p. 22.
, p. 77.
, p. 85.
, p. 25.
, p. 244.
, p. 19.
, p. 76.
, p. 79.
↑
, p. 21.
, p. 29.
, p. 31.
, p. 66.
, p. 90.
, p. 261.
, p. 14.
, p. 20.
, p. 14.
Литература
Мантуров, В. О.
.
Теория узлов
(рус.)
. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с. —
ISBN 5-93972-404-3
.
Кроуэлл Р. Г.
,
Фокс Р. Х.
.
Введение в теорию узлов
(рус.)
. —
Мир
, 1967. — 348 с.