Класс трёхмерных параметрических поверхностей определяется функцией ${\displaystyle F(t_{1},\ldots ,t_{k}):\mathbb {M} \to \mathbb {R} ^{3}}$ , зависящей от ${\displaystyle k}$ параметров и отображающей некоторое связное множество ${\displaystyle \mathbb {M} }$ из n-мерного пространства в трёхмерное пространство таким образом, что это отображение является поверхностью . Эта функция ${\displaystyle F}$ задаёт класс поверхностей, а набор ${\displaystyle k}$ параметров — конкретную поверхность из этого класса.

Наиболее практичным является случай, когда множество ${\displaystyle \mathbb {M} }$ является единичным квадратом в двумерном пространстве. В этом случае параметрическую поверхность можно описать так:

${\displaystyle (x,y,z)=F(u,v)}$ или ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}x&=&X(u,v)\\y&=&Y(u,v)\\z&=&Z(u,v)\end{array}}\right.}$ , где ${\displaystyle (u,v)\in [0,1]^{2}}$

Параметрические поверхности широко используются в прикладной геометрии и компьютерной графике для представления сложных поверхностей. Параметризация делает такие поверхности удобными для обработки и отображения .

Примеры

• Плоскость Точка ${\displaystyle {\vec {O}}}$ и базис из двух неколлинеарных векторов ${\displaystyle {\vec {l}}_{1},{\vec {l}}_{2}}$ в трёхмерном пространстве определяет плоскость и отображение на неё двумерной декартовой системы координат . Тем самым определяется ${\displaystyle uv}$ -параметризация плоскости ( ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ — параметры):

  ${\displaystyle (x,y)={\vec {O}}+u{\vec {l}}_{1}+v{\vec {l}}_{2}}$

• Плоский N-угольник. В общем случае параметризацию в N-угольнике можно ввести, используя систему барицентрических координат .

• Треугольник Этот важнейший частный случай N-угольника заслуживает особого внимания. Наиболее распространённый способ параметризации треугольника — линейное отображение на него треугольника из ${\displaystyle uv}$ -пространства.

• Сфера Для параметризации сферы удобнее всего использовать одноимённую систему координат :
  

  ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}x&=&\rho \cos \varphi \cos \theta \\y&=&\rho \cos \varphi \sin \theta \\z&=&\rho \sin \varphi \end{array}}\right.,\quad \varphi \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],\;\theta \in [0,2\pi )}$ .

• Боковая поверхность бесконечного кругового цилиндра . Вполне естественно использовать цилиндрическую систему координат :

  ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}x&=&\rho \cos \varphi \\y&=&\rho \sin \varphi \\z&=&z\end{array}}\right.,\quad \varphi \in [0,2\pi ),z\in (-\infty ,+\infty )}$ .

• Билинейный интерполяционный четырёхугольник . Упорядоченный набор из 4-х точек в пространстве ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{4}}$ определяет билинейную интерполяционную поверхность и задаёт отображение на неё квадрата ${\displaystyle u,v\in [0,1]}$ :
  

${\displaystyle (x,y)=P_{1}uv+P_{2}(1-u)v+P_{3}u(1-v)+P_{4}(1-u)(1-v)}$

Эта поверхность является гладкой , однако невозможность задавать произвольные касательные на её границе делает её практически неприменимой в качестве

• Поверхность Безье . На практике применяется в основном два вида поверхностей Безье: бикубическая 3-го порядка — четырёхугольник, определяемый 16-ю точками, и барицентрическая 3-го порядка — треугольник, определяемый 10 точками. Барицентрическая система координат в треугольнике содержит 3 числа, поэтому она не всегда удобна.

Граница поверхности Безье состоит из кривых Безье . Точки, определяющие поверхность, определяют также кривые её границы, включая нормали на них. Это позволяет создавать гладкие составные поверхности , то есть использовать поверхности Безье в качестве патчей

Рациональная поверхность Безье отличается тем, что каждой точке в её определении назначен некоторый «вес», определяющий степень её влияния на форму поверхности.

• B-сплайновая поверхность . На практике обычно применяются бикубические B-сплайновые поверхности . Как и поверхности Безье , они определяются 16 точками, однако в общем случае не проходят через эти точки. Однако B-сплайны удобно использовать в качестве патчей, так как они хорошо стыкуются друг с другом при использовании общей сетки вершин, а сами вершины позволяют явным образом задавать нормали и касательные на границах патчей.

При необходимости более гибкого управления формой поверхности применяют рациональные B-сплайны , неоднородные B-сплайны , а также комбинированный вариант — неоднородные рациональные B-сплайны (NURBS).

Свойства

Пусть ${\displaystyle {\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}X'_{u}&X'_{v}\\Y'_{u}&Y'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}Y'_{u}&Y'_{v}\\Z'_{u}&Z'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}Z'_{u}&Z'_{v}\\X'_{u}&X'_{v}\end{vmatrix}}}$ . Тогда:

• Нормаль в точке поверхности определяется выражением:

${\displaystyle {\frac {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(z,x)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}}}$

• Касательная плоскость в заданной точке может быть описана уравнением:

${\displaystyle {\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(x-x_{0})+{\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(y-y_{0})+{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(z-z_{0})=0}$

• Площадь параметрически заданной поверхности рассчитывается по формулам:

${\displaystyle \iint \,{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$

или

${\displaystyle \iint \,\left|[{\dot {r}}_{u}\times {\dot {r}}_{v}]\right|\;\mathrm {d} \,u\;\mathrm {d} \,v}$ , где ${\displaystyle {\dot {r}}_{u}=\left({\frac {\partial x}{\partial u}},\,{\frac {\partial y}{\partial u}},\,{\frac {\partial z}{\partial u}}\right),\quad {\dot {r}}_{v}=\left({\frac {\partial x}{\partial v}},\,{\frac {\partial y}{\partial v}},\,{\frac {\partial z}{\partial v}}\right)}$

Литература

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М. : Дрофа. — 570 с.
• Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М. : Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4 .