Автоморфизм группы — биективный гомоморфизм группы на себя.

Автоморфизм ${\displaystyle f}$ группы ${\displaystyle G}$ называется внутренним , если существует такой элемент ${\displaystyle a\in G}$ , что ${\displaystyle f(x)=axa^{-1}}$ (в этом случае ${\displaystyle f}$ иногда обозначают как ${\displaystyle \alpha _{a}}$ ); в противном случае автоморфизм называется внешним.

Группа автоморфизмов группы ${\displaystyle G}$ обозначается ${\displaystyle \operatorname {Aut} G,}$ множество внутренних автоморфизмов обозначается ${\displaystyle \operatorname {Int} G.}$ Поскольку ${\displaystyle \alpha _{g}\alpha _{h}=\alpha _{hg},\;\operatorname {Int} G}$ — подгруппа в ${\displaystyle \operatorname {Aut} G,}$ можно также доказать, что она является нормальной подгруппой . Факторгруппа ${\displaystyle \operatorname {Out} G=\operatorname {Aut} G/\operatorname {Int} G}$ называется группой внешних автоморфизмов группы. Отображение ${\displaystyle g\to \alpha _{g}}$ определяет гомоморфизм ${\displaystyle G\to \operatorname {Int} G}$ , ядро которого есть центр группы ${\displaystyle Z(G)}$ , так что ${\displaystyle \operatorname {Int} G\cong G/Z(G)}$ . Все нормальные подгруппы инвариантны под действием внутренних автоморфизмов. Подгруппы, инвариантные под действием всех автоморфизмов группы, называются характеристическими .

Всякая группа, совпадающая со своей группой автоморфизмов, называется совершенной . Совершенными являются все симметрические группы ${\displaystyle S_{n}}$ при ${\displaystyle n\neq 2;6}$ . Расширение группы с помощью группы автоморфизмов называется .

Примеры

• ${\displaystyle \operatorname {Aut} \mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} _{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Aut} \mathbb {Q} ^{+}=\mathbb {Q} ^{\times }}$
• ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {Z} _{n}^{+})=\mathbb {Z} _{n}^{\times }}$ (группа ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {Z} _{n})}$ изоморфна мультипликативной группе кольца вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ )
  • В частности, если p простое, ${\displaystyle \operatorname {Aut} \mathbb {Z} _{p}^{+}=\mathbb {Z} _{p}^{\times }=\mathbb {Z} _{p-1}^{+}}$ (группа автоморфизмов группы ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ является циклической из p − 1 элемента)
• ${\displaystyle \operatorname {Aut} S_{n}=\operatorname {Int} S_{n}=S_{n},n\neq 2,6;\;\operatorname {Out} S_{6}=\mathbb {Z} _{2},\;\operatorname {Aut} S_{6}=S_{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$
• Если ${\displaystyle K}$ — поле , характеристика которого больше двух, то ${\displaystyle \operatorname {Aut} \operatorname {GL} _{n}(K)=\operatorname {SL} _{n}(K).}$
• Группа автоморфизмов множества всех комплексных корней степеней ${\displaystyle p^{n}}$ из единицы есть группа p -адических чисел по сложению.
• Группа внешних автоморфизмов свободной группы конечного ранга порождается элементов базиса
• Множество автоморфизмов группы Ли также образует группу Ли.

Примечания