Группа восьми (художественная группа)
- 1 year ago
- 0
- 0
В математике бинарная группа тетраэдра (обозначается как 2 T или <2,3,3>) — это некоторая неабелева группа 24-го порядка . Группа является расширением тетраэдральной группы T (или (2,3,3)) 12-го порядка циклической группы 2-го порядка и является прообразом группы тетраэдра для 2:1 специальной ортогональной группы спинорной группой . Отсюда следует, что бинарная группа тетраэдра — дискретная подгруппа группы Spin(3) 24-го порядка.
Бинарную группу тетраэдра проще всего описать как дискретную подгруппу единиц кватернионов при изоморфизме , где — мультипликативная группа единиц кватернионов (см. описание этого гомоморфизма в статье кватернионы и вращение пространства ).
Бинарная группа тетраэдра задается как группа единиц в кольце целых чисел Гурвица . Имеется 24 такие единицы
с любой комбинацией знаков.
Все 24 единицы по абсолютному значению равны 1 и поэтому находятся в группе единиц кватернионов Sp(1). Выпуклая оболочка этих 24 элементов в 4-мерном пространстве образует выпуклый правильный 4-мерный многогранник, называемый .
Бинарная группа тетраэдра 2 T укладывается в короткую точную последовательность
Эта последовательность не в том смысле, что 2 T не является полупрямым произведением {±1} на T . Фактически не существует подгруппы 2 T изоморфной T .
Бинарная группа тетраэдра является тетраэдральной группы. Если рассматривать тетраэдральную группу как знакопеременную группу четырёх букв , бинарная группа тетраэдра будет накрывающей группой
Центром группы 2 T является подгруппа {±1}. * изоморфна , а полная группа автоморфизмов изоморфна .
Бинарная группа тетраэдра может быть записана как полупрямое произведение
где Q — группа кватернионов , состоящая из 8 единиц Липшица и Z 3 , циклическая группа 3-го порядка, образованная ω = −½(1+ i + j + k ). Группа Z 3 работает на нормальной подгруппе Q как сопряжение . Сопряжение относительно ω — это автоморфизм Q , который циклически вращает i , j и k .
Можно показать, что бинарная группа тетраэдра изоморфна линейной группе SL(2,3) — группе всех 2×2 матриц над конечным полем F 3 с единичным детерминантом.
Группа 2 T имеет задание , определяемое формулой
что эквивалентно
Генераторы задаются формулой
Группа кватернионов , состоящая из 8 единиц Липшица , образует нормальную подгруппу 2 T с индексом 3. Эта группа и центр {±1} являются единственными нетривиальными нормальными подгруппами.
Все остальные подгруппы группы 2 T являются циклическими группами порядка 3, 4 и 6, образованными различными элементами.
Поскольку тетраэдральная группа обобщается до группы симметрий вращений n - симплекса (как подгруппы SO( n )), существует соответствующая бинарная группа большего порядка, которая является накрытием 2-многообразия, получаемая из накрытия
Группа вращательной симметрии n -симплекса может быть представлена как знакопеременная группа из букв, и соответствующая бинарная группа является 2-многообразия. Для всех больших размерностей, за исключением и (соответствующих 5-мерным и 6-мерным симплексам), эта бинарная группа является (максимальной накрывающей) и , но для размерностей 5 и 6 существует дополнительное особое накрытие 3-многообразия и бинарные группы не являются сверхсовершенными.
Бинарная группа тетраэдра использована в контексте теории Янга — Миллса в 1956 году Янгом Чжэньнин . Она впервые использована для построения физической модели и Томасом Кефартом в 1994 году . В 2012 году показано , что связь между углами разлёта нейтрино, полученная с помощью бинарной тетраэдральной симметрии, согласуется с теорией.