Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя
параллельными
опорными прямыми
которой постоянно и равно
— ширине кривой.
Содержание
Связанные определения
Фигурой постоянной ширины
называется фигура, граница которой является кривой постоянной ширины.
Примеры
Фигурами постоянной ширины, в частности, являются
круг
и
многоугольники Рёло
(частный случай последних —
треугольник Рёло
). Многоугольники Рёло составлены из фрагментов окружностей и не являются гладкими кривыми. Из сопряжённых фрагментов окружностей можно построить и гладкую кривую постоянной ширины (рисунок справа), но дальнейшее увеличение гладкости кривой на этом пути невозможно.
Функциональное представление
В отличие от приведенных выше простейших примеров, кривые постоянной ширины могут не совпадать с окружностью ни на каком конечном отрезке и быть везде сколь угодно гладкими. В общем виде фигура постоянной ширины
c опорной функцией
задаётся параметрическими уравнениями
Центры вписанной и описанной окружностей кривой постоянной ширины совпадают, а сумма их радиусов равна ширине
кривой.
Фигура постоянной ширины
может вращаться в квадрате со стороной
, всё время касаясь каждой из сторон.
Среди всех фигур данной постоянной ширины треугольник Рёло имеет наименьшую площадь, а круг — наибольшую.
Любую плоскую фигуру
диаметра
можно накрыть фигурой постоянной ширины
.
Применения
Сверло
, сделанное на основе
треугольника Рёло
, позволяет
сверлить почти квадратные отверстия (с неточностью примерно в 2 % от площади квадрата).
Некоторые монеты имеют форму правильного многоугольника постоянной ширины. Так, на семиугольнике построены монеты достоинством 20
и 50
пенсов
(
Великобритания
); 50
филсов
(
ОАЭ
); 1
доллар
(
Барбадос
); некоторые монеты
Ботсваны
номиналом в 5 и 25
тхебе
, 1 и 2
пулы
. Форму 11-угольника постоянной ширины имеют канадские монеты номиналом в 1 доллар (известные как «
луни
»).
Двигатель Ванкеля
использует
в качестве
поршня
вращающийся внутри камеры треугольник Рёло, что позволяет сразу получать вращательное движение.
Грейферные механизмы
кулачкового типа в большинстве случаев строятся на основе плоского
кулачка
с профилем треугольника Рёло. Наиболее известные примеры:
кинопроекторы
«Луч» и «Украина»
.
Вариации и обобщения
Фигуры постоянной ширины можно определить как выпуклые фигуры, способные вращаться внутри квадрата, одновременно касаясь всех его сторон. Можно также рассматривать фигуры, способные вращаться, касаясь всех сторон некоторого
-угольника, например, правильного
-угольника. Такие фигуры называются
роторами
.
Например, двуугольник, образованный пересечением двух одинаковых кругов с углом при вершине, равным
, является ротором равностороннего треугольника. Сверлом такой формы в принципе можно было бы сверлить треугольные отверстия без сглаженных углов.
Рассматривались фигуры вращающиеся внутри более общих фигур.
Guggenheimer H. W.
Differential Geometry. — New York: Dover, 1977.
Коэффициент с номером
k
= 1 можно обнулить, поскольку это слагаемое отвечает только за положение фигуры на плоскости.
Rabinowitz S.
(англ.)
// Missouri Journal of Mathematical Sciences. — 1997. —
Vol. 9
. —
P. 23—27
.
17 июня 2009 года.
(неопр.)
. Дата обращения: 1 марта 2018. Архивировано 17 июня 2009 года.