Логарифми́ческая спира́ль или изогональная спираль — особый вид спирали , часто встречающийся в природе.

История

Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли , который называл её Spira mirabilis — «удивительная спираль». Декарт искал кривую , обладающую свойством, подобным свойству окружности , так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке один и тот же угол. Он показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов.

Уравнения

В полярных координатах кривая может быть записана как

${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$

или соответственно

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$

где ${\displaystyle \theta }$ — угол отклонения точки от нуля, r — радиус-вектор точки, a — коэффициент, отвечающий за радиус витков, b — коэффициент, отвечающий за расстояние между витками, e — число Эйлера .

В параметрической форме может быть записана как

${\displaystyle x(t)=r\cos t=ae^{bt}\cos t\,,}$

${\displaystyle y(t)=r\sin t=ae^{bt}\sin t\,,}$

где a , b — действительные числа , t — аналог ${\displaystyle \theta }$ в выражении в полярных координатах

Свойства

• Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания , постоянный и зависит лишь от параметра b . В терминах дифференциальной геометрии это может быть записано как

${\displaystyle {\dfrac {\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}={\dfrac {b}{\sqrt {1+b^{2}}}}=\cos \varphi ;\quad b=\mathrm {ctg} \,\varphi .}$

• Производная функции ${\displaystyle \mathbf {r} '(\vartheta )}$ пропорциональна параметру b . Другими словами, он определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда b = 0 ${\displaystyle (\varphi =\pi /2)}$ спираль вырождается в окружность радиуса a . Наоборот, когда b стремится к бесконечности ${\displaystyle (\varphi \rightarrow 0),}$ спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий ${\displaystyle \varphi }$ до 90°, называется наклоном спирали.
• Каждый следующий виток подобен предыдущему. Другими словами, размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной.
• Прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен. Возможно, в результате этого свойства логарифмическая спираль появляется в определённых растущих формах, подобных раковинам моллюсков , шляпкам подсолнечников , спиралям циклонов и галактик .
• Если угол ${\displaystyle \theta }$ возрастает или убывает в арифметической прогрессии , то r возрастает (убывает) в геометрической .
• Поворачивая полярную ось вокруг полюса, можно добиться полного уничтожения параметра a и привести уравнение к виду ${\displaystyle r=e^{m\theta }}$ , где m — новый параметр.
• Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от её начала до этой точки.

Интересные факты

• Якоб Бернулли хотел, чтобы на его могиле была выгравирована логарифмическая спираль, но вместо этого по ошибке на его надгробие поместили архимедову спираль . Тем не менее, надпись на латыни, выгравированная согласно завещанию вокруг спирали, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь воскресаю»), свидетельствует о том, что имеется в виду именно логарифмическая спираль, которая обладает замечательным свойством восстанавливать свою форму после различных преобразований.
• В репертуаре группы Tool композиция Lateralus посвящена спиралям.

• 
  a=0.01, b=0.15
• 
  a=1, b=0.15
• 
  a=1000, b=0.15
• 
  Раковина моллюска по форме близка к логарифмической спирали
• 
  Область низкого давления над Исландией
• 
  Спиральная галактика Водоворот

Обобщение

Логарифмическая спираль есть Синусоидальная спираль при ${\displaystyle n\to 1}$ ;

См. также

• Золотая спираль

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме