Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества ${\displaystyle X}$ (то есть биекций ${\displaystyle X\to X}$ ) относительно операции композиции .

Симметрическая группа множества ${\displaystyle X}$ обычно обозначается ${\displaystyle S(X)}$ . Если ${\displaystyle X=\{1,2,...,n\}}$ , то ${\displaystyle S(X)}$ также обозначается через ${\displaystyle S_{n}}$ . Поскольку для равномощных множеств ( ${\displaystyle |X|=|Y|}$ ) изоморфны и их группы перестановок ( ${\displaystyle S(X)\cong S(Y)}$ ), то для конечной группы порядка ${\displaystyle n}$ группу её перестановок отождествляют с ${\displaystyle S_{n}}$ .

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка ${\displaystyle \mathrm {id} (x)=x}$ .

Группы перестановок

Хотя обычно группой перестановок (или подстановок) называют саму симметрическую группу, иногда, особенно в англоязычной литературе, группами перестановок множества ${\displaystyle X}$ называют подгруппы симметрической группы ${\displaystyle S(X)}$ . Степенью группы в таком случае называется мощность ${\displaystyle X}$ .

Каждая конечная группа ${\displaystyle G}$ изоморфна некоторой подгруппе группы ${\displaystyle S(G)}$ ( теорема Кэли ).

Свойства

Число элементов симметрической группы для конечного множества равно числу перестановок элементов, то есть факториалу мощности: ${\displaystyle |S_{n}|=n!}$ . При ${\displaystyle n\geqslant 3}$ симметрическая группа ${\displaystyle S_{n}}$ некоммутативна.

Симметрическая группа ${\displaystyle S_{n}}$ допускает следующее задание :

${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle }$ .

Можно считать, что ${\displaystyle \sigma _{i}}$ переставляет ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle i+1}$ . Максимальный порядок элементов группы ${\displaystyle S_{n}}$ — функция Ландау .

Группы ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}$ разрешимы , при ${\displaystyle n\geqslant 5}$ симметрическая группа ${\displaystyle S_{n}}$ является неразрешимой .

Симметрическая группа является совершенной (то есть отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера ). В случае ${\displaystyle n=6}$ группа ${\displaystyle S_{6}}$ имеет ещё один . В силу этого и предыдущего свойства при ${\displaystyle n\geqslant 3,n\neq 6}$ все автоморфизмы ${\displaystyle S_{n}}$ являются внутренними, то есть каждый автоморфизм ${\displaystyle \alpha (x)}$ имеет вид ${\displaystyle g^{-1}xg}$ для некоторого ${\displaystyle g\in S_{n}}$ .

Число классов сопряжённых элементов симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$ равно числу разбиений числа ${\displaystyle n}$ . Множество транспозиций ${\displaystyle (12),(23),...,(n-1\ n)}$ является порождающим множеством ${\displaystyle S_{n}}$ . С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками ${\displaystyle (12),(12...n)}$ , так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.

Центр симметрической группы тривиален при ${\displaystyle n\geqslant 3}$ . Коммутантом ${\displaystyle S_{n}}$ является знакопеременная группа ${\displaystyle A_{n}}$ ; причём при ${\displaystyle n\neq 4}$ ${\displaystyle A_{n}}$ — единственная нетривиальная нормальная подгруппа ${\displaystyle S_{n}}$ , а ${\displaystyle S_{4}}$ имеет ещё одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна .

Представления

Любая подгруппа ${\displaystyle G}$ группы перестановок ${\displaystyle S_{n}}$ представима группой матриц из ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$ , при этом каждой перестановке ${\displaystyle \pi :i\to \pi (i)}$ соответствует перестановочная матрица (матрица, у которой все элементы в ячейках ${\displaystyle (i,\pi (i))}$ равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка ${\displaystyle (231)}$ представляется следующей матрицей ${\displaystyle 3\times 3}$ :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}}$

Подгруппа такой группы, составленная из матриц с определителем , равным 1, изоморфна знакопеременной группе ${\displaystyle A_{n}}$ .

Существуют и другие представления симметрических групп, например, группа симметрии (состоящая из вращений и отражений) додекаэдра изоморфна ${\displaystyle S_{5}}$ , а группа вращений куба изоморфна ${\displaystyle S_{4}}$ .

См. также

• Группа кос

Примечания

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М. : Факториал-Пресс, 2001.
• Каргаполов М. И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М. : Наука, Физматлит, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — М. издательство=Физматлит, 2004.
• Курош А. Г. Теория групп. — М. : Наука, Физматлит, 1967.
• Постников М. М. Теория Галуа. — М. : Физматлит, 1963.