Координаты Борна в специальной теории относительности — система координат , применяемая для описания вращающейся окружности или (в более общем смысле) диска .

Вращение окружности в специальной теории относительности

В неподвижной системе отсчёта окружность описывается двумя координатами ${\displaystyle (T,\,\Phi )}$ , в которых метрика имеет вид:

${\displaystyle ds^{2}=dT^{2}-R^{2}\,d\Phi ^{2}}$

( ${\displaystyle R}$ — радиус окружности, скорость света полагается равной единице ).

Вращение окружности описывается формулой

${\displaystyle \Phi =\varphi +\omega T}$ ,

где ${\displaystyle \Phi }$ — угловая координата в пространстве, ${\displaystyle \varphi }$ — положение точки на окружности, ${\displaystyle \omega }$ — круговая частота , а T — время неподвижной системы отсчёта .

Если мы рассмотрим одну точку окружности (то есть зафиксируем ${\displaystyle \varphi }$ ), то её мировая линия будут представлять собой винтовую линию . Собственное время точек окружности определяется как

${\displaystyle {\sqrt {1-\omega ^{2}R^{2}}}\ T.}$

Координатами Борна на окружности называется система координат ${\displaystyle (T,\;\varphi )}$ . Эти две координаты не являются ортогональными.

Метрика будет выглядеть как

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-\omega ^{2}\,R^{2}\right)\,dT^{2}-2\,\omega \,R^{2}\,dT\,d\varphi -R^{2}\,d\varphi ^{2}.}$

Вращение диска в специальной теории относительности

Если рассмотреть равномерно вращающийся, как единое целое, диск (то есть круг ), то добавляется третья координата: ${\displaystyle r}$ .

При этом ${\displaystyle \omega }$ по-прежнему постоянно.

В таком случае множители будут зависеть от радиуса ${\displaystyle r}$ .

Метрика будет выглядеть как

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-\omega ^{2}\,r^{2}\right)\,dT^{2}-2\,\omega \,r^{2}\,dT\,d\varphi -dr^{2}-r^{2}\,d\varphi ^{2}.}$

На рисунке видно, как с возрастанием ${\displaystyle r}$ и приближением линейной скорости вращения к световой система из двух координат ${\displaystyle (T,\;\varphi )}$ становятся всё менее похожа на ортогональную.

Скорость света относительно «времени» ${\displaystyle T}$ по ходу вращения уменьшается, а против вращения — возрастает.

Разумеется, радиус диска не может превосходить ${\displaystyle {\frac {c}{\omega }}}$ , поскольку на этом удалении от оси вращения наша вращающаяся система отсчёта разгоняется до световой скорости.

Определение расстояний и времён

Проблемы с вращающимися координатами

Вращающаяся система отсчёта не является инерциальной и вызывает много проблем даже при поверхностном рассмотрении.

Как было показано, две координаты ${\displaystyle (T,\;\varphi )}$ не ортогональны даже на одной окружности, причём это неустранимый недостаток — если мы синхронизуем время сразу по всей окружности с помощью скорости света, то система отсчёта не будет вращаться, а если отказаться от ${\displaystyle T}$ , синхронизуя время лишь на куске окружности, то единая временная координата «не склеится» . На диске дело обстоит ещё хуже — часы не синхронизуются даже локально (см. эффект Саньяка ).

К тому же, при исчислении собственного времени координату ${\displaystyle T}$ приходится умножать на коэффициент уже не постоянный (как на окружности), а переменный, зависящий от ${\displaystyle r}$ . Диск, оставаясь твёрдым, имеет разную скорость течения времени в зависимости от расстояния до оси вращения.

Из-за проблем со временем не совсем понятно как определять расстояние — некоторые определения не приводят к симметричной функции расстояния между двумя точками диска. А не зная расстояний, мы не можем проверить, что диск вращается как твёрдое тело.

Метрика Ланжевена — Ландау — Лифшица

Тем не менее, оказывается возможным корректно определить расстояние на вращающемся диске в смысле римановой метрики .

То есть, естественная геометрия вращающегося диска не является евклидовой.

См. также

• Координаты Риндлера

Примечания

Литература

• Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 4-е, исправленное и дополненное. — М. : Физматгиз , 1962. — 424 с. — (« Теоретическая физика », том II).