Interested Article - Глоссарий теории групп

В этой статье приведены основные термины, используемые в теории групп . Курсив обозначает внутреннюю ссылку на данный глоссарий. В конце приводится таблица основных обозначений , применяемых в теории групп.


P

-группа
Группа, для которой существует такое простое число , что каждого её элемента является некоторой степенью этого числа. также называется .

А

Абелева группа
То же, что и .
Абелианизация
по , то есть, для группы .
Аддитивная группа кольца
Группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.
Антигомоморфизм групп
Отображение групп такое, что для произвольных и в (сравните с ).
Абсолютно регулярная -группа
Конечная -группа, в которой , где — подгруппа , образованная -ми степенями её элементов.

Г

Генератор группы
1. Элемент группы.
2. Для групп Ли , элемент базиса её алгебры Ли (см. генераторы группы ). Также используется термин инфинитезимальный оператор .
Генетический код группы
То же, что .
Главный ряд подгрупп
, в котором — максимальная в из для всех членов ряда.
Голоморф
Для заданной — группа над парами ( — группа автоморфизмов группы ) с групповой операцией композиции , определённой как .
Гомоморфизм групп
Отображение такое, что для произвольных a и b в G .
Группа
Непустое множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией , при которой в имеется , то есть для всех выполнено , и для каждого элемента есть обратный элемент , такой, что .
Группа Шмидта
группа, все собственные которой нильпотентны.
Группа Миллера — Морено
группа, все собственные подгруппы которой абелевы.
Групповая алгебра
Для над полем — это векторное пространство над , образующими которого являются элементы , а умножение образующих соответствует умножению элементов .

Д

Действие группы
действует слева на множестве , если задан , где . Группа действует справа на множестве , если задан гомоморфизм , где группы .
Длина ряда подгрупп
Число в определении .

Е

Естественный гомоморфизм
группы на по , ставящий в соответствие каждому элементу группы . этого гомоморфизма является подгруппа .

З

Задание группы
Определение указанием и множества соотношений между порождающими , обозначается . Также называется генетический код группы , представление группы (создавая неоднозначность с линейным представлением группы ), копредставление группы .

И

Изоморфизм групп
Биективный .
Изоморфные группы
Группы, между которыми существует хотя бы один .
Инвариантная подгруппа
То же, что и .
Инверсная группа
Группа, получаемая сменой местами аргументов бинарной операции, то есть для с операцией — группа с операцией такой, что для всех элементов .
Индекс подгруппы
Число в каждом (правом или левом) из разложений группы по данной подгруппе.
Индексы ряда подгрупп
Индексы в определении .

К

Класс нильпотентности
Для — минимальная из длин .
Класс смежности
Для элемента , левый смежный класс (или класс смежности) по — множество , правый смежный класс по подгруппе — множество , двойной смежный класс по подгруппам — множество (множество двойных смежных классов обозначается ).
Класс сопряжённости
Для элемента — множество всех его : .
Комитант
Для группы , на множествах и — отображение такое, что для любых и выполнено .
Коммутант
, порождённая всеми группы, обычно обозначается или .
Коммутативная группа
Группа с коммутативной бинарной операцией ( ); также называется абелевой группой .
Коммутирующие элементы
Элементы, для которых равен единичному элементу группы, или, что эквивалентно, такие элементы , для которых .
Коммутатор
Для элементов — элемент .
Коммутатор подгрупп
Множество всевозможных произведений .
Композиционный ряд
Для группы , в котором все .
Конечная группа
Группа с конечным числом элементов.
Конечная -группа
Группа, являющаяся одновременно конечной и . Также используется термин .
Конечно заданная группа
Группа, обладающая конечным числом и в этих образующих конечным числом . Также используется термин конечно определённая .
Конечнопорождённая абелева группа
Группа, являющаяся одновременно и .
Конечнопорождённая группа
Группа, обладающая конечной системой .
Копредставление группы
То же, что .
Кручение
Подгруппа всех элементов конечного , применяется для и групп, обозначается .

Л

Локальное свойство
Говорят, что группа обладает некоторым локальным свойством , если любая из обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.
Локальная теорема
Говорят, что для некоторого свойства групп справедлива некоторая локальная теорема, если всякая группа, , сама обладает им. Например: локально абелева группа является абелевой, но локально конечная группа может быть бесконечной.

М

Максимальная подгруппа
Такая , что не существует других подгрупп её содержащих (не совпадающих с самой группой).
Метабелева группа
Группа, которой , такой группы равна 2.
Метанильпотентная группа
со равной 2.
Метациклическая группа
Группа, обладающая , по которой также циклическая. Всякая конечная группа, которой свободен от квадратов (то есть не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.
Минимальная нормальная подгруппа
Наименьшая (по включению) неединичная (то есть, состоящая не только из единичного элемента) .

Н

Нейтральный элемент
Элемент, задаваемый в определении , любое применение которого при бинарной операции оставляет другой аргумент неизменным.
Нильпотентная группа
Группа, обладающая . Минимальная из длин таких рядов называется её .
Норма группы
Совокупность элементов группы, со всеми , то есть пересечение всех её подгрупп.
Нормализатор
Для подгруппы в — это максимальная подгруппа , в которой . Иначе говоря, нормализатор есть при на множестве своих подгрупп , то есть .
Нормальная подгруппа
есть нормальная , если для любого элемента выполнено , то есть в совпадают. Иначе говоря, если . Также называется инвариантная подгруппа , нормальный делитель .
Нормальный делитель
То же, что и .
Нормальный ряд подгрупп
, в котором в , для всех членов ряда.

О

Орбита
Для элемента множества , на который группа — множество всех действий над элементом: .

П

Перестановочные элементы
Пара элементов такие что .
Период группы
Наименьшее общее кратное данной группы. То же, что и , .
Периодическая группа
Группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок .
Подгруппа
Подмножество группы , которое является относительно операции, определённой в .
Подгруппа кручения
То же, что и .
Подгруппа, порождённая множеством
Наименьшая подгруппа, содержащая данное подмножество группы.
Подгруппа, порождённая всеми ; обозначается .
Подгруппа, порождённая всеми ; обозначается .
Пересечение всех , если таковые существуют, либо сама группа в противном случае; обозначается .
Показатель группы
То же, что и , .
Полинильпотентная группа
Группа обладающая конечным , факторы которого .
Полупрямое произведение
Для групп и над (обозначается по-разному, в том числе ) — множество , наделённое операцией , для которой для любых , .
Порождающее множество группы
Такое подмножество группы, что каждый элемент группы может быть записан как произведение конечного числа элементов множества и их обратных.
Порядок группы
То же, что и мощность множества группы (для — количество элементов группы).
Порядок элемента
Для элемента — минимальное натуральное число такое, что . В случае, если такого не существует, считается, что имеет бесконечный порядок.
Почти- -группа
Для теоретико-группового свойства — группа, обладающая подгруппой конечного , обладающей свойством ; так говорят о почти , почти разрешимых , почти полициклических группах.
Представление группы
1. Линейное представление группы , гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства .
2.  То же, что и .
Простая группа
Группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной (состоящей только из единичного элемента) и всей группы.
Примарная группа
Конечная группа, являющаяся для некоторого простого числа .
Примарная абелева группа
Группа, являющаяся одновременно и .
Прямое произведение
Для групп и — множество пар , наделённое операцией покомпонентного умножения: .

Р

*
Мощность максимального линейно-независимого подмножества , рассматриваемой как модуль над кольцом целых чисел . Не следует путать с понятием .
*
Мощность наименьшего группы. Не следует путать с понятием .
Расширение группы
Группа, содержащая данную группу в качестве .
Разрешимая группа
Группа, обладающая с . Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости .
Подгруппа, порождённая всеми , обозначается .
Ряд подгрупп
Конечная последовательность подгрупп такая, что , для всех . Такой ряд записывают в виде или в виде .
Регулярная -группа
Конечная , для любой пары элементов и которой найдётся элемент подгруппы, порожденной этими элементами, такой, что .

С

Сверхразрешимая группа
Группа, обладающая с .
Свободная группа
Группа, некоторым множеством и при этом не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами , изоморфны .
Свободное произведение
Группа, элементами данных групп без дополнительных соотношений между элементами, кроме соотношений, определяющих каждую из данных групп.
Силовская подгруппа
в , имеющая , где и наибольший общий делитель чисел и равен 1.
Симметрическая группа
Группа всех биекций заданного конечного множества (то есть, всех перестановок ) относительно операции композиции .
Соотношение
Тождество, которому удовлетворяют образующие группы (при образующими и соотношениями).
Сопряжённый элемент
Для элемента — элемент вида для некоторого . Часто используют короткое обозначение .
Сплетение групп
* и (обозначается ), где группа действует на некотором множестве , — это полупрямое произведение , где группа — прямое произведение или прямая сумма набора копий группы , индексируемого элементами множества ; в первом случае сплетение называется декартовым (или полным) сплетением и обозначается также , во втором — прямым сплетением .
Стабилизатор
Для элемента множества , на котором действует группа — подгруппа , все элементы которой оставляют на месте: .
Ступень разрешимости
Наименьшая из длин с для данной группы.
Субнормальный ряд подгрупп
, в котором подгруппа нормальна в подгруппе , для всех членов ряда.

Ф

Факторгруппа
Для и её — множество подгруппы с умножением, определяемым следующим образом: .
Факторы субнормального ряда
в определении .

Х

Характеристическая подгруппа
, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.
Холлова подгруппа
, которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

Ц

Центр группы
Максимальная группа элементов, с каждым элементом группы: . Своеобразная «мера абелевости»: группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.
Централизатор
Максимальная подгруппа, каждый элемент которой с заданным элементом: .
Центральный ряд подгрупп
, в котором , для всех членов ряда.
Центральный элемент группы
Элемент, входящий в .
Циклическая группа
Группа, состоящая из и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.

Э

Экспонента
Числовая характеристика , равная наименьшему общему кратному всех элементов группы, обозначается . То же, что и , .
Элементарная группа
Группа, являющаяся или , либо получаемая из конечных и абелевых групп последовательностью операций взятия , эпиморфных образов, прямых пределов и расширений .
Эпиморфизм групп
Эпиморфизмом называется , если отображение f сюръективно .

Я

Ядро гомоморфизма
Прообраз при . Ядро всегда есть , а любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.

Таблица обозначений

В данном разделе приводятся некоторые обозначения, используемые в публикациях по теории групп. Для некоторых обозначений указываются также соответствующие понятия в некоторых других разделах общей алгебры (теории колец, полей). Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, обозначает то же, что и .

Символ ( Τ Ε Χ ) Символ ( Unicode ) Название Значение
Произношение
Символы теории групп
Нормальная подгруппа , идеал кольца означает « является нормальной подгруппой группы », если — группа, и « является (двусторонним) идеалом кольца », если — кольцо.
«нормальна в», «… является идеалом …»
[ : ] Индекс подгруппы , размерность поля означает «индекс подгруппы в группе », если — группа, и «размерность поля над полем », если и — поля.
«индекс … в …», «размерность … над …»
× Прямое произведение групп означает «прямое произведение групп и ».
«прямое произведение … и …»
Прямая сумма подпространств означает «пространство разлагается в прямую сумму подпространств и ».
«прямая сумма … и …»
Тензорное произведение означает «тензорное произведение тензоров и ».
«тензорное произведение … и …»
[ , ] элементов группы означает «коммутатор элементов и группы », то есть элемент .
«коммутатор … и …»
G' означает «коммутант группы ».
«коммутант …»
⟨ ⟩ n означает «циклическая группа порядка , порождённая элементом ».
«Циклическая группа порядка , порождённая »
A T Транспонированная матрица означает «транспонированная матрица ».
«транспонированная матрица …»
E i, j Матричная единица означает «матричная -единица», то есть матрица , у которой на месте стоит единица, а на остальных местах — нули.
«матричная единица …»
* Сопряжённый оператор
Сопряжённое пространство
Мультипликативная группа поля
означает « линейный оператор , сопряжённый к », если — линейный оператор.
означает « линейное пространство , сопряжённое к (дуальное к )», если — линейное пространство.
означает «мультипликативная группа поля », если — поле.
«оператор, сопряжённый к …»; «пространство, сопряжённое к …»; «мультипликативная группа …»
Стандартные обозначения некоторых групп
S n Симметрическая группа -ой степени означает «симметрическая группа (или группа перестановок) степени ».
«эс …»
A n Знакопеременная группа -ой степени означает «знакопеременная группа (то есть группа чётных подстановок) степени ».
«а …»
ℤ/nℤ Циклическая группа порядка означает «циклическая группа порядка (эквивалентно: группа остатков по сложению по модулю )».
GL n (F) Полная линейная группа — группа невырожденных линейных операторов означает «группа невырожденных линейных операторов размерности над полем » (от general linear ).
«же эль … над …»
SL n (F) Специальная линейная группа — группа линейных операторов c определителем 1 означает «группа линейных операторов размерности над полем с определителем 1» (от special linear ).
«эс эль … над …»
UT n (F) означает «группа верхних треугольных матриц порядка над полем » (от upper triangular ).
«группа верхних треугольных матриц порядка … над …»
SUT n (F) означает «группа верхних унитреугольных матриц порядка над полем » (от special upper triangular ), то есть верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали.
«группа верхних унитреугольных матриц порядка … над …»
PGL n (K) Проективная группа означает "группа преобразований -мерного проективного пространства , индуцированных невырожденными линейными преобразованиями пространства .
«проективная группа порядка … над …»
D n Группа диэдра -ой степени означает «группа диэдра -ой степени» (то есть группа симметрий правильного -угольника).
«дэ …»
V 4 Четверная группа Клейна означает «четверная группа Клейна».
«вэ четыре»

Литература

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М. : Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. ISBN 5-88688-060-7 .
  • , Ремесленников В. Н. , Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. ISBN 5-02-014426-6 .
Источник —

Same as Глоссарий теории групп