Теория кос — раздел топологии и алгебры , изучающий косы и их приложения.

Исследования кос затрагивают различные аспекты теории групп , комбинаторики , алгебраической топологии , гиперболической геометрии , динамики , теории представлений , а сама теория кос проникает в теорию узлов , теорию гомеоморфизмов поверхностей , алгебраическую геометрию , теорию гомотопий , статистическую механику и криптографию .

История

Косы впервые рассматривались Карлом Фридрихом Гауссом . В одном из его черновиков, написанном в период между 1815 и 1830 годами, Гаусс предложил разбиение кос на элементарные составляющие и наметил определение нетривиального инварианта кос, вдохновлённого недавно введёнными им гауссовыми целыми числами .

На значимость кос также обратил внимание Адольф Гурвиц в своей работе 1891 года , посвящённой поверхностей и явлению монодромии . Он изучал поведение нулей многочлена одной комплексной переменной при непрерывном изменении его коэффициентов. Иными словами, Гурвиц неявно рассматривал косы в терминах конфигурационных пространств .

Следующее проявление математики кос произошло в теории узлов. В 1897 году на первом Международном математическом конгрессе в Цюрихе Генрих Карл Брунн представил доказательство того, что произвольный узел может быть приведён к виду замкнутой косы . В литературе данное утверждение известно как , в честь Джеймса Уэдделла Александера , доказавшего его в 1923 году и, по-видимому, не знавшего о работе Брунна.

В явном виде косы были введены Эмилем Артином . В своей работе 1925 года , возникшей в результате сотрудничества с Отто Шрайером , он рассмотрел их с наглядной, геометрической точки зрения и обратил внимание на то, что косы с ${\displaystyle n}$ нитями образуют группу, которую он назвал группой кос и обозначил символом ${\displaystyle B_{n}.}$ Артин задал её образующими и соотношениями , которые по своей природе схожи с движениями Рейдемейстера , но ненадолго опережают их появление в литературе. Также он предложил решение для группы кос, которое основано на её представлении в группу автоморфизмов свободной группы , а точнее, естественном действии групп кос на фундаментальной группе проколотого диска, и тем самым положил начало алгоритмическому направлению в теории кос. В 1947 году он опубликовал в Annals of Mathematics статью с полными доказательствами , в которой с помощью более действенных методов исследовал косы тщательнее, алгебраически. В ней он отозвался о своей первой работе следующим образом:

Вслед за Артином продолжил развивать алгебраическую линию в теории кос , ученик Курта Рейдемейстера . В 1933 году он глубже исследовал намеченную Артином связь между косами и перестановками и, пользуясь так называемым переписывающим процессом Рейдемейстера — Шрайера, задал подгруппу крашеных кос группы кос образующими и соотношениями . А в 1935 году он представил довольно неожиданную связь между группами кос и многочленом Александера — полиномиальным инвариантом узлов . А именно, Бурау показал, что матрица Александера узла, представленного в виде замкнутой косы с ${\displaystyle n}$ нитями, может быть вычислена в терминах образа этой косы относительно линейного представления группы ${\displaystyle B_{n}}$ , ныне носящего его имя . Как сообщает Джоан Бирман, сам Бурау узнал об этом представлении либо от Рейдемейстера, либо от Артина . Стоит отметить, что с точки зрения данное линейное представление естественным образом получается из представления Артина кос автоморфизмами свободной группы.

Основные понятия

Основными понятиями теории кос являются понятия косы и группы кос. Её терминология близка к терминологии теории узлов .

Коса

Центральным в теории кос является понятие косы . Классический подход к его определению состоит из двух шагов. Сначала вводятся определённые наборы кривых в трёхмерном пространстве, которые называются геометрическими косами . Затем на множестве всех геометрических кос вводится определённое отношение эквивалентности , которое называется изотопией и отвечает возможности преобразовать одну геометрическую косу в другую определёнными физическими манипуляциями нитей. По определению принимается, что эквивалентные геометрические косы представляют один и тот же математический объект — косу. Иными словами, косой называется класс эквивалентности относительно такого отношения.

Некоторые авторы злоупотребляют обозначениями и опускают прилагательное «геометрические», называя косами как классы эквивалентности, так и их представителей .

Геометрическая коса

Кратко охарактеризовать геометрическую косу из ${\displaystyle n}$ нитей можно следующим образом.

Пусть в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ на двух параллельных плоскостях ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{0\}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{1\}}$ отмечены по ${\displaystyle n}$ точек, расположенных друг напротив друга на двух параллельных прямых ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}\times \{0\}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}\times \{1\}}$ .

В литературе при рассмотрении геометрических кос обычно ограничиваются либо пространством ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ , ограниченным такими плоскостями, либо его подпространством, представляющем собой прямой круговой цилиндр , ограниченный данными плоскостями и содержащий отмеченные точки во внутренности его оснований. Данные подходы к определению эквивалентны .

Геометрической косой из ${\displaystyle n}$ нитей называется такое подмножество пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ , состоящее из ${\displaystyle n}$ непересекающихся кривых , что:

• концы этих кривых расположены в отмеченных точках;
• каждая плоскость, параллельная плоскостям ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{0\}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{1\}}$ и находящаяся между ними, пересекает геометрическую косу по ровно ${\displaystyle n}$ точкам.

Данные кривые называются нитями геометрической косы. Второе условие означает то, что нити идут «монотонно», то есть в длину вдоль прямой, перпендикулярной плоскостям ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{0\}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{1\}}$ .

В определении геометрической косы некоторые авторы ограничиваются либо полигональными , либо гладкими кривыми и соответствующим образом модифицируют определения остальных основных понятий. Данные подходы приводят к эквивалентным теориям .

Изотопность геометрических кос

Изотопия геометрических кос представляет собой определённое непрерывное шевеление нитей и может быть определена по-разному. В простейшем случае предполагается, что при таких манипуляциях должны сохраняться два указанных выше определяющих свойства геометрических кос. Для этого необходимо, чтобы концы нитей были неподвижны, а сами нити оставались монотонными и не проходили друг сквозь друга. Так, допустимыми движениями являются покачивания нитей, но не их задирания или попытки заузливания.

Точнее, изотопность геометрических кос обычно определяется с помощью понятия объемлющей изотопии . Данное понятие означает непрерывное шевеление сразу всех точек пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ . При таком шевелении точки не могут наезжать друг на друга, но могут переставляться и перемешиваться.

Изотопией геометрических кос называется такая объемлющая изотопия пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ , что:

• его точки не выходят за пределы содержащих их плоскостей вида ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{t\}}$ , параллельных ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{0\}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{1\}}$ ;
• точки на плоскостях ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{0\}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{1\}}$ неподвижны.

При изотопии геометрических кос сохраняется не только количество нитей, но и изменение порядка их кончиков при движении от плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{0\}}$ к плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{1\}.}$

Геометрические косы называются изотопными , если одна может быть получена из другой изотопией.

В литературе те авторы, которые ограничиваются полигональными или гладкими геометрическими косами, соответствующим образом модифицируют определение изотопии. Так, в случае полигональных кос рассматривают элементарную изотопию , а в случае гладких — гладкую.

Вышеописанное определение изотопии геометрических кос допускает несколько следующих ослаблений, приводящих к тому же самому понятию косы, т. е. модификаций, при которых классы эквивалентности геометрических кос не изменяются . Во-первых, определение изотопии можно ослабить, исключив первое условие о невыходе точек за пределы плоскостей. Во-вторых, его можно ослабить, следующим образом исключив из рассмотрения прочие точки пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ , не лежащие на нитях. Так, геометрическая коса представляет собой определённое непрерывное отображение из несвязного объединения отрезков, а ограничение изотопии геометрических кос задаёт гомотопию таких отображений. Оказывается, две геометрические косы изотопны в том и только в том случае, когда соответствующие им отображения гомотопны в классе геометрических кос.

Гомотопность геометрических кос

Впервые на указанную выше эквивалентность трёх подходов к определению изотопии кос указал Артин в своей работе 1947 года . В ней же он предложил список некоторых нерешённых вопросов теории кос, одним из которых является вопрос об эквивалентности таких подходов следующему, ещё более общему.

Геометрические косы называются гомотопными , если соответствующие им отображения из несвязного объединения отрезков связаны гомотопией, при которой, грубо говоря, каждая отдельная нить может самопересекаться, различные нити не пересекаются, а концы нитей неподвижны . В 1974 году дала ответ на вопрос Артина, указав примеры гомотопных, но не изотопных геометрических кос , и привела полное описание множества ${\displaystyle {\hat {B}}_{n}}$ классов эквивалентности геометрических кос из ${\displaystyle n}$ нитей относительно отношения гомотопности (см. Группа кос § Группа гомотопических кос ).

Умножение кос

На множестве ${\displaystyle B_{n}}$ всех кос из ${\displaystyle n}$ нитей определена бинарная операция , которая превращает его в группу . Грубо говоря, произведением двух кос с одинаковым числом нитей называется коса, полученная путём соединения правых концов нитей первой косы с левыми концами нитей второй косы и сжатием полученного объекта в два раза.

Точнее, произведением геометрических кос ${\displaystyle A,B\subset \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ из ${\displaystyle n}$ нитей называется геометрическая коса из ${\displaystyle n}$ нитей, состоящая из таких точек ${\displaystyle (p,t)}$ , что ${\displaystyle (p,2t)\in A}$ , если ${\displaystyle t\in [0,1/2]}$ , и ${\displaystyle (p,2t-1)\in B}$ , если ${\displaystyle t\in [1/2,1]}$ . Произведением кос ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ называется коса, заданная произведением любых их геометрических представителей. Она обычно обозначается символом ${\displaystyle \alpha \ast \beta }$ или просто ${\displaystyle \alpha \beta }$ .

Данная операция умножения удовлетворяет всем определяющим свойствам группы. Полученная группа ${\displaystyle (B_{n},\ast )}$ называется группой кос .

Основные результаты теории

Теорема Артина о задании группы кос

Основополагающим результатом теории кос является теорема Артина, которая посредством образующих Артина сводит геометрическое изучение кос к их алгебраическому изучению.

Согласно этой теореме, группа кос порождается образующими Артина, то есть любая коса может быть задана их произведением — артиновским словом , причем имеется конечный список типов преобразований, позволяющих получить из одного артиновского слова, представляющего данную косу, любое другое.

С точки зрения комбинаторной теории групп теорема Артина предоставляет задание группы кос образующими и соотношениями .

Важность теоремы Артина объясняется тем, что с её помощью классифицируются косы с малым числом нитей и определяются практически все инварианты кос. Например, из неё следует корректность определения коэффициентов зацепления нитей косы.

Алгоритмические проблемы

Первостепенными в теории кос являются алгоритмические вопросы, связанные с распознаванием различных свойств геометрических кос.

Проблема тождества

Основной алгоритмической задачей, связанной с косами, является их распознавание. Так, проблемой эквивалентности геометрических кос называется задача разрешимости , заключающаяся в определении того, являются ли изотопными две заданные геометрические косы .

Две геометрические косы ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ изотопны тогда и только тогда, когда они состоят из одного и того же числа нитей, и геометрическая коса ${\displaystyle \alpha \beta ^{-1}}$ изотопна тривиальной . Таким образом, проблема эквивалентности геометрических кос равносильна задаче определения того, изотопна ли данная геометрическая коса тривиальной.

Ввиду теоремы Артина , проблема эквивалентности геометрических кос равносильна для групп кос.

Данная алгоритмическая проблема разрешима и известно несколько существенно различных алгоритмов распознавания кос. Их можно, в основном, разделить на алгебраические и топологические (геометрические). Первые основаны на поиске той или иной , представляющие заданный элемент группы кос, вторые — на определении действия элемента группы на топологических объектах .

См. также

• Группа кос
• Глоссарий теории кос
• Теория узлов
• — раздел динамики, использующий теорию кос.

Примечания

Комментарии

Источники

Литература

Вводные материалы

• Сосинский, А. Б . (рус.) . — М. : МЦНМО , 2001. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6 .
• Мантуров, В. О . // Математическое просвещение. — М. : МЦНМО , 2010. — Т. 3 , вып. 14 . — С. 107–142 . — ISBN 978-5-94057-597-9 .
• Сосинский, А. Б . (рус.) . — М. : МЦНМО , 2005. — 112 с. — ISBN 5-94057-220-0 .

Учебники

• Кассель, К , Тураев, В. Г . Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М. : МЦНМО , 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6 .
• Прасолов, В. В , Сосинский, А. Б . Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия (рус.) . — М. : МЦНМО , 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3 .
• Мантуров, В. О . Теория узлов (рус.) . — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3 .
• Матвеев, С. В , Фоменко, А. Т . Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии (рус.) . — 2. — М. : Наука , 1998. — 304 с. — (Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения). — ISBN 5-02-013655-7 .
• Васильев, В. А . Топология дополнений к дискриминантам. — М. : ФАЗИС, 1997. — 538 с. — ISBN 978-5-7036-0033-7 .
• Звонкин, А. К , Ландо, С. К . Графы на поверхностях и их приложения (рус.) . — М. : МЦНМО , 2010. — 480 с. — ISBN 978-5-94057-588-7 .

Ссылки

• Hurwitz A. // Mathematische Annalen. — 1891. — № 39 .
• Brunn H. . // Verhandlungen des ersten Internationalen Mathematiker-Kongresses. — Zurich: Teubner, 1898.
• Alexander J. W. // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . — 1923. — Т. 9 , № 3 . — С. 93—95 .
• Artin E. // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1925. — № 4 .
• Burau W. . Über Zopfinvarianten // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1933. — Т. 9 . — doi : .
• Burau W. . Über Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettungen // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1935. — Т. 11 . — doi : .
• Artin E. // Annals of Mathematics. — 1947. — Т. 48 , № 1 .
• Goldsmith, Deborah Louise . Homotopy of braids: In answer to a question of E. Artin // Topology Conference. Lecture Notes in Mathematics / Dickman, Raymond Frank , Fletcher, Peter . — Berlin, Heidelberg: Springer , 1974. — Т. 375 . — С. 91—96 . — ISBN 978-3-540-37948-5 . — doi : .
• Лин, В. Я . // Итоги науки и техники. Серия «Алгебра. Топология. Геометрия». — 1979. — Т. 17 . — С. 159–227 .
• Epple M. . // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — № 20 .
• Epple M. . // James I. M. History of Topology. — 1999. — С. 301—357 . — doi : .
• Малютин, А. В . . — , 2001. — Т. 279 . — С. 197–217 .
• Frei G. , Lemmermeyer F. , Roquette P. J. = Emil Artin und Helmut Hasse: die Korrespondenz 1923-1934 (англ.) / пер. с нем. F. Lemmermeyer . — Springer Basel, 2014. — Vol. 5. — 484 p. — (Contributions in Mathematical and Computational Sciences). — ISBN 978-3-0348-0714-2 . — doi : .