Interested Article - Группа классов преобразований поверхности

Группа классов преобразований поверхности — это группа гомеоморфизмов с точностью до непрерывной деформации. Она естественно возникает при изучении трёхмерных многообразий и связана с другими группами, в частности с группами кос и группой внешних автоморфизмов группы.

Группа классов отображений может быть определена для произвольных многообразий и для произвольных топологических пространств, но случай поверхностей является наиболее изученным в теории групп .

История

Начало изучению групп классов отображений было положено Максом Деном и Якобом Нильсеном . Ден построил конечную систему образующих этой группы, а Нильсен доказал, что все автоморфизмы фундаментальных групп поверхностей инициируются гомеоморфизмами.

В середине семидесятых Уильям Тёрстон использовал эту группу при изучении трёхмерных многообразий.

Позднее группа классов стала изучаться в геометрической теории групп , где она служит полигоном для различных гипотез и разработке технических инструментов.

Определение

Пусть $S$ есть связная , замкнутая , ориентируемая поверхность, и $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$ есть группа её гомеоморфизмов, сохраняющих ориентацию, снабжённая компактно-открытой топологией .

Связная компонента единицы в $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$ обозначается $\mathrm {Homeo} _{0}(S)$ . Она состоит из гомеоморфизмов $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$ , изотопных тождественному гомеоморфизму. Подгруппа $\mathrm {Homeo} _{0}(S)$ является нормальной подгруппой $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$ .

Группа классов преобразований поверхности отображений $S$ определяется как факторгруппа

\mathrm {Mod} (S)=\mathrm {Homeo} ^{+}(S)/\mathrm {Homeo} _{0}(S).

Замечания

Если в этом определении использовать все гомеоморфизмы (не только сохраняющие ориентацию), получаем расширенную группу классов преобразований $\mathrm {Mod} ^{\pm }(S)$ , в которой группа $\mathrm {Mod} (S)$ содержится как подгруппа индекса 2.

Это определение также может быть дано для категории диффеоморфизмов . Точнее, если слово «гомеоморфизм» заменить везде на « диффеоморфизм », мы получаем ту же группу, поскольку включение $\mathrm {Diff} ^{+}(S)\subset \mathrm {Homeo} ^{+}(S)$ индуцирует изоморфизм соответствующими классами.

В случае, когда $S$ — компактная поверхность с краем $\partial S$ , в определении берутся только гомеоморфизмы, фиксирующие все точки на краю.

Для поверхностей с выколотыми точками группа определяется точно так же, как указано выше.
- Обратите внимание, что отображению классов разрешается переставлять выколотые точки, но не компоненты края.

Примеры

Группа классов преобразований сферы — тривиальна.
Группа классов отображений тора $\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ естественно изоморфна модулярной группе $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ .
Группа классов отображений кольца является циклической группой, образованной одним скручиванием Дена .
Группа кос с n нитями естественным образом изоморфна группе классов преобразований диска n выколотыми точками.

Свойства

Группа классов преобразований поверхности счётная .

Расширенная группа классов преобразований поверхности без края изоморфна группе автоморфизмов её фундаментальной группы.
- Более того, любой автоморфизм фундаментальной группы индуцируется некоторым гомеоморфизмом поверхности.
- Вообще говоря, утверждение перестаёт быть верным для поверхностей с краем. В этом случае фундаментальная группа является свободной группой, и группа внешних автоморфизмов группы включает группу классов преобразований поверхности как собственную подгруппу.

Для компактной поверхности $S$ и $x\in S$ существует точная последовательность

$1\to \pi _{1}(S,x)\to \mathrm {Mod} (S\setminus \{x\})\to \mathrm {Mod} (S)\to 1.$

Любой элемент $\alpha$ $\alpha$ группы классов преобразований поверхности попадает в одну из трёх категорий:
- $\alpha$ имеет конечный порядок (то есть $\alpha ^{n}=1$ для некоторого $n$ );
- $\alpha$ приводим, то есть существует набор непересекающихся замкнутых кривых на $S$ , сохраняющихся под действием $\alpha$ ;
- $\alpha$ .

Группа классов преобразований поверхности может быть порождена
- Двумя элементами
- Инволюциями
- Существует конечное задание с скручиваниями Дена как образующими.
  - Наименьшее число скручиваний Дена , образующих группу классов преобразований поверхности рода $g\geqslant 2$ , равно $2g+1$ .

Группа классов преобразований поверхности естественно действует на её пространстве Тейхмюллера .
- Это действие собственно разрывное , не свободно.
- Метрики на пространстве Тейхмюллера могут быть использованы для установления некоторых глобальных свойств группы классов преобразований. Например из этого следует, что максимальная квази-изометрически вложенная плоскость в группу классов преобразований поверхности рода $g$ имеют размерность $3g-3+k$ .

Группа классов преобразований поверхности естественно действует на поверхности. Это действие, вместе с комбинаторно-геометрическими свойствами комплекса кривых, может быть использовано для доказательства различных свойств группы классов преобразований.
- В частности, это объясняет наличие у группы некоторых свойств, близких к гиперболичности Громова .

Первые гомологии группы классов преобразований поверхности конечны.
- Из этого следует, что первые группы когомологий также конечны.

Группа классов преобразований поверхности остаточно конечна .

Группа классов преобразований поверхности имеет только конечное число классов сопряжённости.

Неизвестно, является ли группа классов преобразований поверхности линейной группой. Кроме симплектических представлений на гомологиях, известны и другие линейные представления, вытекающие из топологической квантовой теории поля. Образы этих представлений содержатся в арифметических группах, которые не являются симплектическими .
Размерность нетривиального действия группы классов преобразований поверхности рода $g$ не может быть меньше $2{\sqrt {g-1}}$ .

Примечания

Dehn, Max. Die Gruppe de Abbildungsklassen (неопр.) // Acta Mathematica . — 1938. — Т. 69 . — С. 135—206 . — doi : .
Thurston, William P. On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. : journal. — 1988. — Vol. 19 . — P. 417—431 . — doi : .
Wajnryb, B. (англ.) // Topology : journal. — 1996. — Vol. 35 . — P. 377—383 . — doi : .
Tara E. Brendle, Benson Farb. Every mapping class group is generated by 3 torsion elements and by 6 involutions (англ.) // J. Algebra : journal. — 2004. — Vol. 278 . MR :
Alex Eskin, Howard Masur, Kasra Rafi (2014). "Large scale rank of Teichmüller space". arXiv : [ ]. {{ cite arXiv }} : Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) ( ссылка ) .
Masbaum, Gregor and Reid, Alan W. All finite groups are involved in the mapping class group (англ.) // Geom. Topol. : journal. — 2012. — Vol. 16 . — P. 1393—1411 . — doi : . MR :
Benson Farb, Alexander Lubotzky, Yair Minsky. Rank-1 phenomena for mapping class groups (неопр.) // (англ.) ( . — 2001. — Т. 106 . — С. 581—597 . MR :

Литература

Алексей Жиров. Топологическая сопряжённость псевдоаносовских гомеоморфизмов. — МЦНМО, 2013. — 1000 экз. — ISBN 978-5-4439-0213-5 .
A. A. Гайфулин , от 17 сентября 2017 на Wayback Machine .