В этом глоссарии приведены определения основных терминов, использующихся в теории узлов . Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

А

Аддитивный инвариант

Числовой , значения которого складываются при узлов и зацеплений.

Альтернированная диаграмма

, при движении вдоль каждой которой проходы чередуются с переходами . Или, что то же самое, диаграмма, любая которой является единичной длины.

Альтернированное зацепление

, имеющее .

Альтернированный узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Б

Брунново зацепление

, которое становится при удалении любой его .

В

Восходящая диаграмма

1. , на которой можно выбрать такой упорядоченный набор точек, по одной на каждой её , что при последовательном прохождении этих компонент вдоль ориентации, начиная в очередной отмеченной точке, каждый перекрёсток проходится сначала по нижней ветви, а затем уже по верхней .

2. , удовлетворяющая вышеописанному условию относительно хотя бы одной .

Г

Геометрический узел

1. Непрерывное инъективное отображение ${\displaystyle f\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$ окружности в трёхмерное евклидово пространство . Или, что то же самое, топологическое вложение окружности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .

2. Образ подобного топологического вложения ${\displaystyle f\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$ . Иными словами, подмножество трёхмерного евклидова пространства, гомеоморфное окружности . Или, что то же самое, связное замкнутое одномерное подмногообразие евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .

Частный случай .

Геометрическое зацепление

1. Непрерывное инъективное отображение ${\displaystyle f\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$ дизъюнктного объединения конечного числа окружностей в трёхмерное евклидово пространство . Или, что то же самое, топологическое вложение конечного набора окружностей в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .

2. Образ подобного топологического вложения ${\displaystyle f\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$ . Иными словами, подмножество трёхмерного евклидова пространства, гомеоморфное дизъюнктному объединению конечного числа окружностей. Или, что то же самое, замкнутое одномерное подмногообразие евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .

Обобщение .

Гомотопность геометрических зацеплений

Два ${\displaystyle f,g\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$ называются гомотопными , если существует такая гомотопия ${\displaystyle F_{t}\colon S^{1}\sqcup \ldots \sqcup S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$ , параметризованная числом ${\displaystyle t\in [0,1]}$ , что ${\displaystyle F_{0}=f}$ , ${\displaystyle F_{1}=g}$ и для каждого ${\displaystyle t\in [0,1]}$ образы сужений отображения ${\displaystyle F_{t}}$ на различные окружности не пересекаются .

Граф Зейферта ориентированной диаграммы

Размеченный граф , определённым образом заданный . Его множество вершин совпадает с множеством всех диаграммы, а множество рёбер — с множеством её . Концами ребра считается пара вершин, представляющих собой окружности Зейферта, соединённые данным перекрёстком. Разметка графа Зейферта, по определению, состоит из указания того, какой тип имеет каждый перекрёсток диаграммы (положительный или отрицательный), и того, какое направление имеет каждая окружность Зейферта (по часовой стрелке или против). Последнее сопоставление представляет собой правильную раскраску вершин в два цвета. Тем самым, любой граф Зейферта является двудольным .

Группа симметрий

данного или . Представляет собой .

Группа зацепления

Фундаментальная группа данного . Представляет собой .

Группа классов конкордантности узлов

Абелева группа , состоящая из классов эквивалентности относительно с операцией . Её нейтральным элементом является класс .

Факторгруппа по произведению коммутантов ядер гомомоморфизмов , индуцированных удалением данного . Представляет собой .

Группа узла

Частный случай понятия для зацеплений.

Гиперболический объём

Объём , являющегося данного или . Представляет собой .

Гиперболическое зацепление

, которого является .

Гиперболический узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Гладкий геометрический узел

Частный случай понятия для геометрических зацеплений.

Гладкое геометрическое зацепление

, представляющее собой набор гладких замкнутых кривых.

Д

Движение Рейдемейстера

Один из трёх определённых типов . Первое движение представляет собой появление и исчезновение малой петли, второе — появление и исчезновение пары , а третье — прохождение некоторой нити над перекрёстком.

Также используется термин преобразование Рейдемейстера .

1. Подмножество евклидовой плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , получающееся из некоторой регулярной определёнными разрывами в её двойных точках. А именно, разрывами той ветви маленькой окрестности каждой двойной точки, прообраз в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ которой имеет меньшую третью координату. Такую ветвь называют проход или нижняя ветвь , а оставшуюся — переход или верхняя ветвь .

2. Класс эквивалентности регулярных плоских проекций, где эквивалентными называются такие проекции, которые получаются друг из друга .

Также используется термин плоская диаграмма .

Диаграмма замкнутой косы

1. , у которой все вложены друг в друга и имеют одинаковое направление . Или, что то же самое, ориентированная диаграмма, полученная из некоторой диаграммы косы , ориентированной от начала её нитей к их концам, операцией .

2. , удовлетворяющая вышеописанному условию относительно хотя бы одной . Или, что то же самое, диаграмма, полученная из некоторой диаграммы косы операцией замыкания Александера.

Дикий узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Дикое зацепление

, не являющееся .

Дополнительное пространство

1. Дополнение некоторого данного или до трёхмерного евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . Является некомпактным трёхмерным многообразием без края .

2. Дополнение некоторого геометрического представителя зацепления до трёхмерной сферы ${\displaystyle S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}}$ .

3. Дополнение внутренности зацепления до ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . Является некомпактным трёхмерным многообразием, край которого гомеоморфен набору торов .

4. Дополнение внутренности утолщения зацепления до ${\displaystyle S^{3}}$ . Является компактным трёхмерным многообразием, край которого гомеоморфен набору торов.

5. топологического пространства , заданного одним из способов выше. Является .

Также используются термины дополнение и внешность .

Дуга диаграммы

Компонента связности .

Дуговой индекс

Наименьшее значение количества вертикальных (или, что то же самое, количества горизонтальных) звеньев среди всех данного или . Является .

З

Задача развязывания

Частный случай , в котором одно из зацеплений является .

В случае узлов также используются термины задача распознавания тривиального узла и проблема распознавания тривиального узла .

Задача распознавания

Задача разрешимости , заключающаяся в определении того, являются ли два заданных некоторым образом или .

Также используются термины проблема сравнения и проблема распознавания .

Закрученность ориентированной диаграммы

Разность между количеством положительных перекрёстков и количеством отрицательных перекрёстков .

Также используется термин индекс скрещивания .

Замыкание Александера

Определённое отображение из множества всех кос в множество .

Зацепление

Класс эквивалентности по отношению .

Обобщение .

Также используется термин цепь .

Зеркальный образ

1. , получающееся из данной заменой типов всех , т. е. заменой проходов на переходы и наоборот без изменения диаграммы.

2. или , получающееся из данного зацепления отражением относительно некоторой плоскости.

Также используется термин зеркальное отражение .

Зеркальное зацепление

, эквивалентное своему .

Также используются термины амфихиральное зацепление и ахиральное зацепление . Противоположное понятие — .

Зеркальный узел

Частный случай понятия для зацеплений.

И

Изотопность геометрических зацеплений

Два называются изотопными , если существует , переводящая первое геометрическое зацепление во второе.

Изотопность ориентированных геометрических зацеплений

Два называются изотопными , если существует , переводящая первое геометрическое зацепление во второе и совмещающая компонент первого зацепления с ориентацией компонент второго.

Изотопность ориентированных геометрических узлов

Частный случай понятия для зацеплений.

Изотопность геометрических узлов

Частный случай понятия для зацеплений.

Изотопность упорядоченных геометрических зацеплений

Два называются изотопными , если существует , переводящая первое геометрическое зацепление во второе и совмещающая порядок (нумерацию) первого зацепления с порядком компонент второго.

Изогнутость

Наименьшее значение вариации поворота среди всех данного . Является .

Инвариант

Произвольная функция, действующая из множества или . Или, что то же самое, функция, действующая из множества или , принимающая одинаковые значения на элементах .

Инвариант конечного типа

Элемент определённого семейства узлов и зацеплений.

Также используются термины инвариант конечного порядка , инвариант Васильева — Гусарова и инвариант Гусарова — Васильева .

Элемент определённого семейства зацеплений .

Индекс косы

Наименьшее значение количества среди всех данного или . Является .

Также используется термин ‘’’число нитей’’’.

К

Прямая, пересекающая данное или в ровно четырёх точках.

Классификация Тёрстона

Разбиение множества всех на , и , основанное на применении теоремы о геометризации к узла.

Схематичное изображение между двумя узлами.

Кобордизм

1. Компактная , ориентируемая поверхность ${\displaystyle \Sigma }$ , топологически вложенная в пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times [0,1]}$ , пересекающаяся с объединением ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3}\times \{0\})\cup (\mathbb {R} ^{3}\times \{1\})}$ по своему краю .

2. Само такое топологическое вложение.

Кобордизм называется локально плоским или гладким в зависимости от того, является ли вложение или гладким .

Говорят, что кобордизм ${\displaystyle \Sigma }$ соединяет один или с другим, если у них имеются такие геометрические представители ${\displaystyle L_{1}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ и ${\displaystyle L_{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ , что ${\displaystyle \Sigma \cap (\mathbb {R} ^{3}\times \{0\})=L_{1}\times \{0\}}$ и ${\displaystyle \Sigma \cap (\mathbb {R} ^{3}\times \{1\})=L_{2}\times \{1\}}$ .

Если зацепления , предполагается, что ориентация поверхности согласована с ориентацией зацеплений, а точнее, последнее условие заменяется на ${\displaystyle \Sigma \cap (\mathbb {R} ^{3}\times \{1\})=L_{2}^{rev}\times \{1\}}$ , где ${\displaystyle L_{2}^{rev}}$ — результат на ${\displaystyle L_{2}}$ .

Кобордизм-расстояние

1. Топологическое кобордизм-расстояние — наименьшее значение рода локально плоского , соединяющего один или с другим.

2. Гладкое кобордизм-расстояние — наименьшее значение рода гладкого кобордизма, соединяющего один узел или зацепление с другим.

Компонента диаграммы

1. Объединение диаграммы, соответствующих некоторой зацепления.

2. диаграммы некоторой зацепления.

Компонента зацепления

1. Сужение данного на одну из окружностей.

2. Компонента связности геометрического представителя данного зацепления.

3. , соответствующий описанному выше геометрическому зацеплению .

Количество компонент зацепления является .

1. Два или называются топологически конкордантными , если между ними существует локально плоский , чей род равен нулю. Или, иными словами, если между ними равно нулю.

2. Два узла или зацепления называются гладко конкордантными , если между ними существует гладкий кобордизм, чей род равен нулю . Или, иными словами, если между ними равно нулю.

Определённый способ задать зацепления, представленного , образующими и соотношениями . В качестве образующих выступают петли , огибающие диаграммы, а в качестве соотношений — определённые тождества на .

Также используется термин задание Виртингера .

Короткое замыкание

Определённое отображение из множества всех кос в множество (от англ. short-circuit — короткое замыкание). Также используется термин замыкание Стенфорда — Мостового .

Коэффициент зацепления

1. Определённый целочисленный .

2. Инвариант двухкомпонентных (неориентированных) , равный абсолютному значению коэффициента зацепления, вычисленного относительно произвольной ориентации зацепления.

М

Меридианальная петля

Петля в зацепления, гомотопная меридиану одной из этого зацепления.

Меридианальный ранг

Наименьшее значение мощности порождающего множества , каждый элемент которого представляется . Является .

Моноид узлов

Коммутативный моноид , состоящий из всех с операцией .

Мост диаграммы

Дуга , содержащая хотя бы один . Длина моста — количество перекрёстков, которое он содержит.

Мутанты

Такая пара или , что первое зацепление можно получить из второго конечной последовательностью .

Мутация

Определённый тип .

Н

Несвязное объединение

Коммутативная бинарная операция на множестве всех , сопоставляющая паре зацеплений из ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$ зацепление из ${\displaystyle n+m}$ компонент, заданное , полученным расположением геометрических представителей исходных зацеплений по разные стороны от некоторой плоскости .

Нисходящая диаграмма

1. , на которой можно выбрать такой упорядоченный набор точек, по одной на каждой её , что при последовательном прохождении этих компонент вдоль ориентации, начиная в очередной отмеченной точке, каждый перекрёсток проходится сначала по верхней ветви, а затем уже по нижней .

2. , удовлетворяющая вышеописанному условию относительно хотя бы одной .

Определённый способ табуляции и .

Определённый способ кодирования и .

Определённый способ кодирования и .

Нотация Конвея

Определённый способ перечисления и .

О

Объемлющая изотопия

Такое непрерывное семейство гомеоморфизмов ${\displaystyle f_{t}\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ , параметризованное числом ${\displaystyle t\in [0,1]}$ , что ${\displaystyle f_{0}}$ — тождественное отображение . Под непрерывностью семейства имеется в виду то, что отображение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}}$ , заданное правилом ${\displaystyle (x,t)\mapsto f_{t}(x)}$ , является непрерывным .

Путь , заданный формулой ${\displaystyle t\mapsto f_{t}(x)}$ , называется траекторией движения точки ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$ под действием объемлющей изотопии ${\displaystyle f_{t}}$ .

Говорят, что объемлющая изотопия переводит подмножество ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ в подмножество ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ , если ${\displaystyle f_{1}(A)=B}$ .

Также используется термин изотопическая деформация .

Обратимое зацепление

, имеющее в качестве представителя , результату всех его компонент .

Обратимый узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Обращение ориентации

, заключающееся в замене всех или некоторых данного зацепления на противоположную.

Ограничивающее зацепление

называется ограничивающим (от англ. boundary link ), если у него имеется такая локально плоская , что каждая её компонента связности содержит ровно одну компоненту края этой поверхности .

Окружность Зейферта ориентированной диаграммы

Любая из простых замкнутых ориентированных кривых, получающихся в разультате каждого перекрёстка .

Ориентация диаграммы задаёт направление на каждой окружности Зейферта. В соответствии с этим окружности Зейферта делятся на два типа: направленные по часовой стрелке и направленные против часовой стрелки.

Также используется термин цикл Зейферта .

Ориентация

1. Ориентация геометрического узла — один из двух способов указать направление обхода окружности этого . Или, иными словами, ориентация соответствующего связного замкнутого одномерного многообразия .

2. Ориентация геометрического зацепления — способ указать направление обхода каждой этого . Или, иными словами, ориентация соответствующего замкнутого одномерного многообразия.

3. Ориентация диаграммы — способ указать направление обхода этой , согласованный с некоторой ориентацией соответствующего геометрического зацепления.

Определение типа перекрёстков : слева — положительный перекрёсток, а справа — отрицательный.

Ориентированная диаграмма

вместе с .

Каждый ориентированной диаграммы имеет один из двух типов: положительный перекрёсток — такой, что ориентация его нижней ветви (прохода) указывает налево от ориентации его верхней ветви (перехода); отрицательный перекрёсток — противоположное понятие.

Ориентированное геометрическое зацепление

вместе с .

Ориентированное зацепление

Класс эквивалентности по отношению .

Ориентированный геометрический узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Ориентированный узел

Частный случай понятия для зацеплений.

П

Параллель узла

Параллель данного , которая удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• Её с самим узлом равен нулю .
• Она совпадает с пересечением края утолщения узла и некоторой локально плоской этого узла.
• Она гомологична нулю в узла. Или, что то же самое, представляет нулевой элемент в первой группе гомологий этого пространства.

Переключение перекрёстка

1. , заключающееся в смене типа некоторого (прохода на переход и наоборот).

2. , заключающееся в смене типа некоторого перекрёстка на некоторой диаграмме данного зацепления.

Также используются термины замена перекрёстка и переброска .

Перекрёсток диаграммы

1. Участок , полученный в результате разрыва нижней ветви на маленькой окрестности некоторой двойной точки регулярной .

2. То же, что и двойная точка регулярной плоской проекции.

Перешеек

, удаление которого увеличивает количество компонент связности её .

Также используется термин точка распадения .

Плетёное замыкание

Определённое отображение из множества всех кос в множество (от англ. plat — плетение).

Плоская изотопия

Такое непрерывное семейство гомеоморфизмов ${\displaystyle f_{t}\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ , параметризованное числом ${\displaystyle t\in [0,1]}$ , что ${\displaystyle f_{0}}$ — тождественное отображение . Под непрерывностью семейства имеется в виду то, что отображение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}}$ , заданное правилом ${\displaystyle (x,t)\mapsto f_{t}(x)}$ , является непрерывным .

Путь , заданный формулой ${\displaystyle t\mapsto f_{t}(x)}$ , называется траекторией движения точки ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$ под действием плоской изотопии ${\displaystyle f_{t}}$ .

Говорят, что плоская изотопия переводит подмножество ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ в подмножество ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ , если ${\displaystyle f_{1}(A)=B}$ .

Плоская проекция

Образ или относительно ортогональной проекции ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}}$ трёхмерного евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ на евклидову плоскость, заданной формулой ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,y)}$ .

Ветвь плоской проекции — её подмножество, являющееся образом связного подмножества геометрического зацепления.

Кратностью или порядком точки на плоской проекции называется мощность её прообраза относительно ортогональной проекции ${\displaystyle \pi }$ . Плоская проекция называется регулярной , если кратность каждой её точки не превосходит двух (т. е. равна единице или двойке), причем двойных точек (т. е. точек кратности два) лишь конечное число, и каждая из них представляет собой трансверсальное пересечение.

Образ относительно ортогональной проекции ${\displaystyle \pi }$ является конечным набором замкнутых ломаных на плоскости. В этом случае при условии регулярности плоской проекции для трансверсальности достаточно того, чтобы кратность всех вершин ломаной была равна единице .

В случае при условии регулярности плоской проекции для трансверсальности достаточно того, чтобы касательные прямые в соответствующих двойной точке двух точках зацепления проецировались в две различные прямые на плоскости .

Полигональное геометрическое зацепление

, являющееся объединением конечного числа ломаных . Иными словами, конечный набор непересекающихся замкнутых несамопересекающихся ломаных в трёхмерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .

Полигональный геометрический узел

Частный случай понятия для геометрических зацеплений.

Полиномиальный инвариант

Тип узлов и зацеплений, принимающего значения в множестве многочленов .

Полноторий

Произведение ${\displaystyle S^{1}\times D^{2}}$ окружности и . Является компактным трёхмерным многообразием , край которого совпадает с тором ${\displaystyle S^{1}\times \partial D^{2}}$ .

Меридиан полнотория — простая замкнутая кривая на его крае, имеющая вид ${\displaystyle \{x\}\times \partial D^{2}}$ , где ${\displaystyle x\in S^{1}}$ .

Параллель полнотория — простая замкнутая кривая на его крае, имеющая вид ${\displaystyle S^{1}\times \{x\}}$ , где ${\displaystyle x\in \partial D^{2}}$ .

Сердцевина полнотория — простая замкнутая кривая в его внутренности , имеющая вид ${\displaystyle S^{1}\times \{x\}}$ , где ${\displaystyle x}$ — центр диска ${\displaystyle D^{2}}$ .

Полный инвариант

, обладающий тем свойством, что если его значения на двух или совпадают, то либо такие зацепления совпадают, либо одно является другого.

Положительная диаграмма

, каждый перекрёсток которой является положительным.

Положительное зацепление

1. , имеющее .

2. , которое можно снабдить такой , что оно будет иметь .

Положительный узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Поверхность Зейферта

1. Компактная , ориентируемая поверхность , топологически вложенная в пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , краем которой является некоторый данного или .

2. Само такое топологическое вложение.

3. Аналогично определениям выше, но поверхность предполагается связной .

Поверхность Зейферта называется локально плоской или гладкой в зависимости от того, является ли вложение или гладким .

Если зацепление , предполагается, что ориентация поверхности согласована с ориентацией зацепления.

Преобразование геометрических узлов и зацеплений

Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно, многозначную ) из множества и в себя.

Преобразование диаграмм

Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно, многозначную ) из множества всех в себя.

Преобразование узлов и зацеплений

Произвольная геометрическая процедура, проводимая над геометрическими представителями и и задающая функцию (возможно, многозначную ) из множества узлов и зацеплений в себя.

Приведённая диаграмма

, не имеющая .

Простой узел

, который нельзя представить в виде связной суммы двух узлов .

Прямоугольная диаграмма

Определённый тип диаграмм , а именно, диаграмма , на которой звенья (т. е. прямолинейные отрезки) чередуются между горизонтальными и вертикальными, причем верхние ветви всех вертикальны.

Р

, имеющее , которое лежит по разные стороны от некоторой плоскости.

Также используется термин расщепимое зацепление .

Разрешение перекрёстка

1. , заключающееся в ликвидации разрезанием обеих его ветвей в точке пересечения и последующим склеиванием их «наоборот» одним из двух возможных способов .

2. , заключающееся в разрешении некоторого перекрёстка на некоторой диаграмме данного зацепления.

Если диаграмма или зацепление снабжены , предполагается естественный выбор одного из двух способов ликвидации перекрёстка, а именно, такое однозначное разрешение, которое сохраняет ориентацию.

Также используются термины сглаживание перекрёстка , разведение перекрёстка и уничтожение перекрёстка .

Раскраска

Гомоморфизм из узла или зацепления в некоторую группу . Раскрашиваемость — существование подобного гомоморфизма. Раскрашиваемость, а также количество раскрасок заданного типа, являются .

Расслоенное зацепление

, чьё допускает структуру локально тривиального расслоения над окружностью . Или, что то же самое, чьё равно нулю.

Расслоенный узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Род Зейферта

Наименьшее значение рода гладкой данного или . Является .

Также используются термины трёхмерный род и просто род .

Ручное зацепление

, которое удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• Оно имеет регулярную . Или, что практически то же самое, её конечно, то есть оно имеет .
• Оно имеет . Или, что практически то же самое, её конечно.
• Оно имеет .
• Оно имеет .

Ручной узел

Частный случай понятия для зацеплений .

С

Сателлитная операция

Определённый тип .

Сателлитный узел

, чье содержит существенный тор .

Определённая коммутативная бинарная операция на множестве всех .

Также используются термины произведение , композиция и конкатенация .

Скейн-соотношение

Определённый тип соотношений между значениями на , отличающихся друг от друга только в небольшой области.

Составной узел

, не являющийся .

Состояние диаграммы

Одна из ${\displaystyle 2^{n}}$ , полученных из данной диаграммы с ${\displaystyle n}$ каждого её перекрёстка .

Срезанное зацепление

1. называется топологически срезанным , если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• Оно .
• Его равен нулю.
• Существует такая , в пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )}$ , что её пересечение с ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \{0\}}$ совпадает с её краем и имеет вид ${\displaystyle L\times \{0\}}$ , где ${\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{3}}$ — данного зацепления.

2. Зацепление называется гладко срезанным , если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• Оно тривиальному зацеплению.
• Его равен нулю.
• Существует такая сфера с дырками, гладко вложенная в пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )}$ , что её пересечение с ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \{0\}}$ совпадает с её краем и имеет вид ${\displaystyle L\times \{0\}}$ , где ${\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{3}}$ — геометрический представитель данного зацепления.

1. Топологический срезанный род — , заданный одним из следующих эквивалентных определений:

• Наименьшее значение рода , соединяющего данный или с .
• от данного зацепления до тривиального.
• Наименьшее значение рода такой компактной , ориентируемой поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ , в пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )}$ , что её пересечение с ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \{0\}}$ совпадает с её краем и имеет вид ${\displaystyle L\times \{0\}}$ , где ${\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{3}}$ — данного зацепления.

2. Гладкий срезанный род — инвариант, заданный одним из следующих эквивалентных определений:

• Наименьшее значение рода , соединяющего данный узел или зацепление с тривиальным.
• от данного зацепления до тривиального.
• Наименьшее значение рода такой компактной ориентируемой поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ , гладко вложенной в пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )}$ , что её пересечение с ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \{0\}}$ совпадает с её краем и имеет вид ${\displaystyle L\times \{0\}}$ , где ${\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{3}}$ — геометрический представитель данного зацепления.

Также используется термин четырёхмерный род .

Срезанный узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Стандартно вложенная сфера с ручками

Край малой замкнутой окрестности произвольного графа, лежащего внутри некоторой плоскости в трёхмерном евклидовом пространстве .

Т

Перечисление всех или некоторых и без повторов в соответствии с некоторой мерой сложности , такой как .

Тень диаграммы

Образ ортогональной проекции, соответствующей .

Род Хегора данного или . Является .

Торический узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Торическое зацепление

1. , имеющее , который лежит на торе .

2. Элемент семейства так называемых торических зацеплений типа ${\displaystyle (p,q)}$ , где ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ .

Тривиальное зацепление

, которое удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• Оно имеет , лежащего в некоторой плоскости.
• Оно имеет , лежащего в некоторой плоскости.
• Оно имеет с нулём .
• Оно имеет диаграмму с нулём .
• Оно имеет , лежащего в некоторой плоскости.
• Его равно нулю.

Тривиальный узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Тройка Конвея

Тройка , совпадающих везде, за исключением некоторой маленькой области, в которой вторая диаграмма получается из первой перекрёстка, а третья — этого перекрёстка .

У

Узел

Класс эквивалентности по отношению .

Частный случай , а именно, зацепление.

Упорядоченное геометрическое зацепление

, чьи пронумерованы различными числами от единицы до их общего количества.

Упорядоченное зацепление

Класс эквивалентности по отношению .

Утолщение зацепления

каждой данного .

Утолщение узла

Образ такого топологического вложения ${\displaystyle f\colon D^{2}\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$ в трёхмерное евклидово пространство , что его сердцевина отображается в некоторого данного .

Меридиан и параллель утолщения — образы меридиана и параллели полнотория относительно подобного топологического вложения.

Ф

Определённый тип .

Также используется термин переворачивание .

Х

Хиральное зацепление

, не эквивалентное своему . Противоположное понятие — .

Хиральный узел

Частный случай понятия для зацеплений.

Ц

Циклическое накрытие

Элемент определённой серии накрытий данного или .

Ч

Число Морса — Новикова

Наименьшее значение количества критических точек среди всех функций Морса из данного или в окружность . Является .

Число мостов

Наименьшее значение количества среди всех диаграмм данного или . Является .

Число отрезков

Наименьшее значение количества звеньев (т. е. прямолинейных отрезков) среди всех представителей данного или . Является .

Число перекрёстков

Наименьшее значение количества среди всех данного или . Является .

Число развязывания

Наименьшее значение количества , которое требуется применить, чтобы превратить данное в . Является .

Также используются термины гордиево число и число заузленности .

Э

Элементарная изотопия

, заключающееся в замене звена (прямолинейного отрезка) ${\displaystyle AB}$ на два звена ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle CB}$ , а также обратное преобразование, осуществляемое при условии, что треугольник ${\displaystyle ABC}$ не пересекает остальные звенья полигонального зацепления по своей внутренности или границе .

Также используется термин элементарное преобразование .

Примечания

Литература

• Мантуров, В. О. . Теория узлов (рус.) . — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3 .
• Кроуэлл Р. Г. , Фокс Р. Х. . Введение в теорию узлов (рус.) . — Мир , 1967. — 348 с.
• Сосинский, А. Б. (рус.) . — М. : МЦНМО , 2005. — 112 с. — ISBN 5-94057-220-0 .
• Прасолов, В. В. , Сосинский, А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия (рус.) . — М. : МЦНМО , 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3 .

Ссылки

• Milnor, J. W. (англ.) // Annals of Mathematics . — 1954. — March ( vol. 59 , no. 2 ). — P. 177—195 . — doi : .
• Кобельский, В. Л. . (рус.) // Известия Академии наук СССР. Серия математическая . — 1982. — Т. 46 , вып. 5 . — С. 983—993 . — doi : .
• Meilhan, J.-B. . (англ.) . — 2018. — arXiv : .