Вы́чет в компле́ксном анализе — объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданной функции или формы .

Теория вычетов одного комплексного переменного была в основном разработана Коши в 1825—1829 годы. Кроме него, важные результаты были получены Эрмитом , Сохоцким , Линделёфом . В 1887 году Пуанкаре обобщил интегральную теорему Коши и понятие вычета на случай двух переменных , с этого момента и берёт своё начало многомерная теория вычетов. Однако оказалось, что обобщить это понятие можно различными способами.

Для обозначения вычета аналитической функции ${\displaystyle f(z)}$ в точке ${\displaystyle z_{0}}$ применяется выражение ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } \left[f(z),z_{0}\right]}$ (от лат. residuum ). В русскоязычной литературе иногда обозначается как ${\displaystyle {\text{Выч}}\left[f(z),z_{0}\right]}$ .

Одномерный комплексный анализ

Вычет функции

Вычетом мероморфной функции ${\displaystyle f}$ в изолированной особой точке ${\displaystyle a}$ называется единственное число ${\displaystyle R}$ такое, что функция ${\displaystyle f(z)-R/(z-a)}$ имеет аналитическую первообразную в кольце ${\displaystyle 0<|z-a|<\delta }$ .

Для комплекснозначной функции ${\displaystyle f(z)}$ в области ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ , регулярной в некоторой проколотой окрестности точки ${\displaystyle a\in D}$ , её вычетом в точке ${\displaystyle a}$ называется число:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)=\lim _{\rho \to 0}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _{|z-a|=\rho }\!f(z)\,dz}$ .

В силу голоморфности функции ${\displaystyle f(z)}$ в малой проколотой окрестности точки ${\displaystyle a}$ по теореме Коши величина интеграла не зависит от ${\displaystyle \rho }$ при достаточно малых значениях этого параметра, так же как и от формы пути интегрирования. Важно только то, что путь является замкнутой кривой в области аналитичности функции, один раз охватывающей рассматриваемую точку и никаких других точек не принадлежащих области голоморфности ${\displaystyle f}$ .

В некоторой окрестности точки ${\displaystyle a}$ функция ${\displaystyle f(z)}$ представляется сходящимся рядом Лорана по степеням ${\displaystyle z-a}$ . Нетрудно показать, что вычет совпадает с коэффициентом ряда ${\displaystyle c_{-1}}$ при ${\displaystyle (z-a)^{-1}}$ . Часто это представление принимают за определение вычета функции.

Вычет в «бесконечности»

Для возможности более полного изучения свойств функции вводится понятие вычета в бесконечности, при этом она рассматривается как функция на сфере Римана . Пусть бесконечно удалённая точка является изолированной особой точкой ${\displaystyle f(z)}$ , тогда вычетом в бесконечности называется комплексное число, равное:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,f(z)=-\lim _{\rho \to \infty }{1 \over {2\pi i}}\int \limits _{|z|=\rho }\!f(z)\,dz}$ .

Цикл интегрирования в этом определении ориентирован положительно, то есть против часовой стрелки.

Аналогично предыдущему случаю вычет в бесконечности имеет представление и в виде коэффициента лорановского разложения в окрестности бесконечно удалённой точки:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,f(z)=-c_{-1}}$ .

Вычет дифференциальной формы

С точки зрения анализа на многообразиях вводить специальное определение для некоторой выделенной точки сферы Римана (в данном случае, бесконечно удалённой) неестественно. Более того, такой подход затруднительно обобщить на более высокие размерности . Поэтому понятие вычета вводится не для функций, а для дифференциальных ${\displaystyle (1,\;0)}$ -форм на сфере Римана:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,\omega =\lim _{\rho \to 0}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _{|z-a|=\rho }\!\omega }$ .

На первый взгляд разницы в определениях никакой, однако теперь ${\displaystyle a}$ — произвольная точка ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$ , и смена знака при вычислении вычета в бесконечности достигается за счёт замены переменных в интеграле.

Логарифмические вычеты

Интеграл ${\displaystyle {1 \over {2\pi i}}\oint \limits _{L}\!{f^{\prime }(z) \over f(z)}\,dz}$ называется логарифмическим вычетом функции ${\displaystyle f(z)}$ относительно контура ${\displaystyle L}$ .

Понятие логарифмического вычета используется для доказательства теоремы Руше и основной теоремы алгебры .

Способы вычисления вычетов

Согласно определению вычет может быть вычислен как контурный интеграл, однако в общем случае это довольно трудоёмко. Поэтому на практике пользуются, в основном, следствиями из определения.

В устранимой особой точке ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ , так же как и в точке регулярности, вычет функции ${\displaystyle f(z)}$ равен нулю. В то же время для бесконечно удалённой точки это утверждение не верно. Например, функция ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ имеет в бесконечности нуль первого порядка, однако, ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,{\frac {1}{z}}=-1}$ . Причина этого в том, что форма ${\displaystyle {\frac {dz}{z}}}$ имеет особенность как в нуле, так и в бесконечности.

В полюсе ${\displaystyle a}$ кратности ${\displaystyle n}$ вычет может быть вычислен по формуле:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{z\to a}{{d^{(n-1)} \over dz^{(n-1)}}[(z-a)^{n}f(z)]}}$ ,

частный случай ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)=\lim _{z\to a}{(z-a)f(z)}}$ .

Если функция ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$ имеет простой полюс в точке ${\displaystyle a}$ , где ${\displaystyle g(z)}$ и ${\displaystyle h(z)}$ голоморфные в окрестности ${\displaystyle a}$ функции, ${\displaystyle h(a)=0}$ , ${\displaystyle h'(a)\neq 0}$ , то можно использовать более простую формулу:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)={\frac {g(a)}{h^{\prime }(a)}}}$ .

Очень часто, особенно в случае существенно особых точек , удобно вычислять вычет пользуясь разложением функции в ряд Лорана. Например, ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{0}\,e^{1/z}=\mathop {\mathrm {Res} } _{0}\,\left(1+{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2!z^{2}}}+\ldots \right)=1}$ , так как коэффициент при ${\displaystyle z^{-1}}$ равен 1.

Приложения теории вычетов

В большинстве случаев теория вычетов применяется для вычисления разного рода интегральных выражений с помощью основной теоремы о вычетах . Часто полезной в данных случаях бывает лемма Жордана .

Вычисления определённых интегралов от тригонометрических функций

Пусть функция ${\displaystyle R(u,\;v)}$ — рациональная функция переменных ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ . Для вычисления интегралов вида ${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }R\!(\sin \varphi ;\;\cos \varphi )\,d\varphi }$ удобно использовать формулы Эйлера . Положив, что ${\displaystyle z=e^{i\varphi }}$ , и произведя соответствующие преобразования, получим:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\!R(\sin \varphi ,\;\cos \varphi )\,d\varphi =2\pi i\sum \mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}R(z)}$ .

Вычисление несобственных интегралов

Для вычисления несобственных интегралов с применением теории вычетов используют следующие две леммы:

1. Пусть функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в верхней полуплоскости ${\displaystyle I^{+}=\{z\mid \operatorname {Im} \,z\geqslant 0\}}$ и на вещественной оси за исключением конечного числа ${\displaystyle n}$ полюсов , не лежащих на вещественной оси и ${\displaystyle \lim _{z\to \infty }zf(z)=0}$ . Тогда

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}f(z)}$ .

2. Пусть функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в верхней полуплоскости ${\displaystyle I^{+}=\{z\mid \operatorname {Im} \,z\geqslant 0\}}$ и на вещественной оси за исключением конечного числа ${\displaystyle n}$ полюсов , не лежащих на вещественной оси, ${\displaystyle \lim _{z\to \infty }zf(z)=0}$ и ${\displaystyle \alpha >0}$ . Тогда

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!f(x)e^{i\alpha x}\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}f(z)e^{i\alpha z}}$

При этом интегралы в левых частях равенств не обязаны существовать и поэтому понимаются только лишь в смысле .

Многомерный комплексный анализ

Форма-вычет и класс-вычет

Локальный вычет

Этот раздел не завершён . Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Вычетный поток

Этот раздел не завершён . Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Примечания

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М. : Наука, 1976.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М. : Наука, 1979.
• Айзенберг Л. А., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. — Новосибирск: Наука, 1979.
• Цих А. К. Многомерные вычеты и их применения. — Новосибирск: Наука, 1988.