Дифференциа́л (от лат. «разность, различие») — линейная часть приращения функции или ее аргумента .

Обозначения

Обычно дифференциал функции ${\displaystyle f}$ обозначается ${\displaystyle df}$ . Некоторые авторы предпочитают обозначать ${\displaystyle {\rm {d}}f}$ шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором .

Дифференциал в точке ${\displaystyle x_{0}}$ обозначается ${\displaystyle d_{x_{0}}f}$ , а иногда ${\displaystyle df_{x_{0}}}$ или ${\displaystyle df[x_{0}]}$ , а также ${\displaystyle df}$ , если значение ${\displaystyle x_{0}}$ ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке ${\displaystyle x_{0}}$ от ${\displaystyle h}$ может обозначаться как ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}$ , а иногда ${\displaystyle df_{x_{0}}(h)}$ или ${\displaystyle df[x_{0}](h)}$ , а также ${\displaystyle df(h)}$ , если значение ${\displaystyle x_{0}}$ ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

• Знак дифференциала используется в выражении для интеграла ${\displaystyle \int f(x)\,dx}$ . При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал ${\displaystyle dx}$ вводится как часть определения интеграла ^{[ источник не указан 2156 дней ]} .
• Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной ${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})}$ . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции ${\displaystyle f}$ и тождественной функции ${\displaystyle x}$ верно соотношение:

  ${\displaystyle d_{x_{0}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{x_{0}}x.}$

Определения

Для функций

Дифференциал функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ в точке ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ может быть определён как линейная функция

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,}$

где ${\displaystyle f'(x_{0})}$ обозначает производную ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , а ${\displaystyle h}$ — приращение аргумента при переходе от ${\displaystyle x_{0}}$ к ${\displaystyle x_{0}+h}$ .

Таким образом ${\displaystyle df}$ есть функция двух аргументов ${\displaystyle df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{x_{0}}f(h)}$ .

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}$ , линейно зависящая от ${\displaystyle h}$ , и для которой верно следующее соотношение

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}$

Для отображений

Дифференциалом отображения ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ в точке ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ называют линейное отображение ${\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ такое, что выполняется условие

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}$

Связанные определения

• Отображение ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ называется дифференцируемым в точке ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ , если определён дифференциал ${\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ .

Свойства

• Матрица линейного оператора ${\displaystyle d_{x_{0}}f}$ равна матрице Якоби ; её элементами являются частные производные ${\displaystyle f}$ .
  • Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
• Дифференциал функции ${\displaystyle f}$ связан с её градиентом ${\displaystyle \nabla f}$ следующим определяющим соотношением

  ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle }$

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем . Изначально ${\displaystyle dx}$ применялось для обозначения « бесконечно малой » — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики, за исключением нестандартного анализа .

Вариации и обобщения

Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать, получая различные важные объекты в функциональном анализе , дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.

• Дифференциал (дифференциальная геометрия)
• Дифференциалы высших порядков
• Дифференциал Ито
• Внешний дифференциал
• Производная Пеано
• Производная Фреше
• Вариация функционала

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»