Interested Article - Метод Ньютона

Метод Ньютона , алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных ) — это итерационный численный метод нахождения корня ( нуля ) заданной функции . Метод был впервые предложен английским физиком , математиком и астрономом Исааком Ньютоном ( 1643 1727 ). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации . Метод обладает квадратичной сходимостью . Модификацией метода является метод хорд и касательных . Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации , в которых требуется определить ноль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Описание метода

Вывод

Чтобы численно решить уравнение методом простой итерации , его необходимо привести к эквивалентному уравнению: , где сжимающее отображение .

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Решение данного уравнения ищут в виде , тогда:

В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню и что заданная функция непрерывна , окончательная формула для такова:

С учётом этого функция определяется:

При некоторых условиях эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение.

В этом случае алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления :

По теореме Банаха последовательность приближений стремится к корню уравнения .

Иллюстрация метода Ньютона (синим изображена функция , ноль которой необходимо найти, красным — касательная в точке очередного приближения ). Здесь мы можем увидеть, что последующее приближение лучше предыдущего .

Геометрическая интерпретация

Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к графику исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.

Пусть 1) вещественнозначная функция непрерывно дифференцируема на интервале ;
2) существует искомая точка : ;
3) существуют и такие, что
для
и для ;
4) точка такова, что .
Тогда формула итеративного приближения к может быть выведена из геометрического смысла касательной следующим образом:

где — угол наклона касательной прямой к графику в точке .

Следовательно (в уравнении касательной прямой полагаем ) искомое выражение для имеет вид :

Если , то это значение можно использовать в качестве следующего приближения к .

Если , то имеет место «перелёт» (корень лежит рядом с границей ). В этом случае надо (воспользовавшись идеей метода половинного деления ) заменять на до тех пор, пока точка «не вернётся» в область поиска .

Замечания. 1) Наличие непрерывной производной даёт возможность строить непрерывно меняющуюся касательную на всей области поиска решения .
2) Случаи граничного (в точке или в точке ) расположения искомого решения рассматриваются аналогичным образом.
3) С геометрической точки зрения равенство означает, что касательная прямая к графику в точке - параллельна оси и при не пересекается с ней в конечной части.
4) Чем больше константа и чем меньше константа из пункта 3 условий, тем для пересечение касательной к графику и оси ближе к точке , то есть тем ближе значение к искомой .

Итерационный процесс начинается с некоторого начального приближения , причём между и искомой точкой не должно быть других нулей функции , то есть «чем ближе к искомому корню , тем лучше». Если предположения о нахождении отсутствуют, методом проб и ошибок можно сузить область возможных значений, применив теорему о промежуточных значениях .

Для предварительно заданных , итерационный процесс завершается если и .
В частности, для матрицы дисплея и могут быть рассчитаны, исходя из масштаба отображения графика , то есть если и попадают в один вертикальный, а и в один горизонтальный ряд.

Алгоритм

  1. Задается начальное приближение .
  2. Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять или (то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение: .

Пример

Иллюстрация применения метода Ньютона к функции с начальным приближением в точке .
График последовательных приближений.
График сходимости.
Согласно способу практического определения скорость сходимости может быть оценена как тангенс угла наклона графика сходимости, то есть в данном случае равна двум.

Рассмотрим задачу о нахождении положительных , для которых . Эта задача может быть представлена как задача нахождения нуля функции . Имеем выражение для производной . Так как для всех и для , очевидно , что решение лежит между 0 и 1. Возьмём в качестве начального приближения значение , тогда:

Подчёркиванием отмечены верные значащие цифры . Видно, что их количество от шага к шагу растёт (приблизительно удваиваясь с каждым шагом): от 1 к 2, от 2 к 5, от 5 к 10, иллюстрируя квадратичную скорость сходимости .


Условия применения

Иллюстрация расхождения метода Ньютона, применённого к функции с начальным приближением в точке .

Рассмотрим ряд примеров, указывающих на недостатки метода.

Контрпримеры

  • Если начальное приближение недостаточно близко к решению, то метод может не сойтись.

Пусть

Тогда

Возьмём ноль в качестве начального приближения. Первая итерация даст в качестве приближения единицу. В свою очередь, вторая снова даст ноль. Метод зациклится и решение не будет найдено. В общем случае построение последовательности приближений может быть очень запутанным .

График производной функции при приближении к нулю справа.

Рассмотрим функцию:

Тогда и всюду, кроме 0.

В окрестности корня производная меняет знак при приближении к нулю справа или слева. В то время, как для .

Таким образом не ограничено вблизи корня, и метод будет расходиться, хотя функция всюду дифференцируема, её производная не равна нулю в корне, бесконечно дифференцируема везде, кроме как в корне, а её производная ограничена в окрестности корня.

Рассмотрим пример:

Тогда и за исключением , где она не определена.

На очередном шаге имеем :

Скорость сходимости полученной последовательности составляет приблизительно 4/3. Это существенно меньше, нежели 2, необходимое для квадратичной сходимости, поэтому в данном случае можно говорить лишь о линейной сходимости, хотя функция всюду непрерывно дифференцируема , производная в корне не равна нулю, и бесконечно дифференцируема везде, кроме как в корне.

  • Если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение.

Пусть

Тогда и следовательно . Таким образом сходимость метода не квадратичная, а линейная, хотя функция всюду бесконечно дифференцируема.

Ограничения

Пусть задано уравнение , где и надо найти его решение.

Ниже приведена формулировка основной теоремы, которая позволяет дать чёткие условия применимости. Она носит имя советского математика и экономиста Леонида Витальевича Канторовича ( 1912 1986 ).

Теорема Канторовича.

Если существуют такие константы , что:

  1. на , то есть существует и не равна нулю;
  2. на , то есть ограничена;
  3. на , и ;

Причём длина рассматриваемого отрезка . Тогда справедливы следующие утверждения:

  1. на существует корень уравнения ;
  2. если , то итерационная последовательность сходится к этому корню: ;
  3. погрешность может быть оценена по формуле .

Из последнего из утверждений теоремы в частности следует квадратичная сходимость метода:

Тогда ограничения на исходную функцию будут выглядеть так:

  1. функция должна быть ограничена;
  2. функция должна быть гладкой , дважды дифференцируемой ;
  3. её первая производная равномерно отделена от нуля;
  4. её вторая производная должна быть равномерно ограничена.

Историческая справка

Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи «Об анализе уравнениями бесконечных рядов» ( лат. «De analysi per aequationes numero terminorum infinitas» ), адресованной в 1669 году Барроу , и в работе «Метод флюксий и бесконечные ряды» ( лат. «De metodis fluxionum et serierum infinitarum» ) или «Аналитическая геометрия» ( лат. «Geometria analytica» ) в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году . В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд , бесконечно малые и флюксии ( производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам . Он вычислял не последовательные приближения , а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение .

Этот же метод применён Ньютоном в его трактате " Математические начала " для решения уравнения Кеплера , где Ньютон предложил вполне современную аналитическую форму вычисления, записав последовательность приближений в виде переразлагаемого в каждой новой точке аналитического ряда:

ряд ... сходится настолько быстро, что едва ли когда-нибудь понадобится идти в нём далее второго члена ...

Впервые метод был опубликован в трактате «Алгебра» Джона Валлиса в 1685 году , по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе «Общий анализ уравнений» ( лат. «Analysis aequationum universalis» ). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном. Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента .

В 1879 году Артур Кэли в работе «Проблема комплексных чисел Ньютона — Фурье» ( англ. «The Newton-Fourier imaginary problem» ) был первым, кто отметил трудности в обобщении метода Ньютона на случай мнимых корней полиномов степени выше второй и комплексных начальных приближений. Эта работа открыла путь к изучению теории фракталов .

Обобщения и модификации

Иллюстрация последовательных приближений метода одной касательной, применённого к функции с начальным приближением в точке .

Метод секущих

Родственный метод секущих является «приближённым» методом Ньютона и позволяет не вычислять производную. Значение производной в итерационной формуле заменяется её оценкой по двум предыдущим точкам итераций:

.

Таким образом, основная формула имеет вид

Этот метод схож с методом Ньютона, но имеет немного меньшую скорость сходимости. Порядок сходимости метода равен золотому сечению — 1,618…

Замечания. 1) Для начала итерационного процесса требуются два различных значения и .
2) В отличие от «настоящего метода Ньютона» (метода касательных), требующего хранить только (и в ходе вычислений — временно и ), для метода секущих требуется сохранение , , , .
3) Применяется, если вычисление затруднено (например, требует большого количества машинных ресурсов: времени и/или памяти).

Метод одной касательной

В целях уменьшения числа обращений к значениям производной функции применяют так называемый метод одной касательной.

Формула итераций этого метода имеет вид:

Суть метода заключается в том, чтобы вычислять производную лишь один раз, в точке начального приближения , а затем использовать это значение на каждой последующей итерации:

При таком выборе в точке выполнено равенство:

и если отрезок, на котором предполагается наличие корня и выбрано начальное приближение , достаточно мал, а производная непрерывна, то значение будет не сильно отличаться от и, следовательно, график пройдёт почти горизонтально, пересекая прямую , что в свою очередь обеспечит быструю сходимость последовательности точек приближений к корню.

Этот метод является частным случаем метода простой итерации . Он имеет линейный порядок сходимости.

Метод Ньютона-Фурье

Метод Ньютона-Фурье - это расширение метода Ньютона, выведенное Жозефом Фурье для получения оценок на абсолютную ошибку аппроксимации корня, в то же время обеспечивая квадратичную сходимость с обеих сторон.

Предположим, что f ( x ) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [ a , b ] и что f имеет корень на этом интервале. Дополнительно положим, что f ( x ), f ( x ) ≠ 0 на этом отрезке (например, это верно, если f ( a ) < 0 , f ( b ) > 0 , и f ( x ) > 0 на этом отрезке). Это гарантирует наличие единственного корня на этом отрезке, обозначим его α . Эти рассуждения относятся к вогнутой вверх функции. Если она вогнута вниз, то заменим f ( x ) на f ( x ) , поскольку они имеют одни и те же корни.

Пусть x 0 = b будет правым концом отрезка, на котором мы ищем корень, а z 0 = a - левым концом того же отрезка. Если x n найдено, определим

которое выражает обычный метод Ньютона, как описано выше. Затем определим

где знаменатель равен f ( x n ) , а не f ( z n ) . Итерации x n будут строго убывающими к корню, а итерации z n - строго возрастающими к корню. Также выполняется следующее соотношение:

,

таким образом, расстояние между x n и z n уменьшается квадратичным образом.

Многомерный случай

Обобщим полученный результат на многомерный случай.

Пусть необходимо найти решение системы:

Выбирая некоторое начальное значение , последовательные приближения находят путём решения систем уравнений :

где .


Применительно к задачам оптимизации

Пусть необходимо найти минимум функции многих переменных . Эта задача равносильна задаче нахождения нуля градиента . Применим изложенный выше метод Ньютона:

где гессиан функции .

В более удобном итеративном виде это выражение выглядит так:

В случае квадратичной функции метод Ньютона находит экстремум за одну итерацию.

Нахождение матрицы Гессе связано с большими вычислительными затратами, и зачастую не представляется возможным. В таких случаях альтернативой могут служить квазиньютоновские методы , в которых приближение матрицы Гессе строится в процессе накопления информации о кривизне функции.

Метод Ньютона — Рафсона

Метод Ньютона — Рафсона является улучшением метода Ньютона нахождения экстремума, описанного выше. Основное отличие заключается в том, что на очередной итерации каким-либо из методов одномерной оптимизации выбирается оптимальный шаг:

где Для оптимизации вычислений применяют следующее улучшение: вместо того, чтобы на каждой итерации заново вычислять гессиан целевой функции , ограничиваются начальным приближением и обновляют его лишь раз в шагов, либо не обновляют вовсе.

Применительно к задачам о наименьших квадратах

На практике часто встречаются задачи, в которых требуется произвести настройку свободных параметров объекта или подогнать математическую модель под реальные данные. В этих случаях появляются задачи о наименьших квадратах :

Эти задачи отличаются особым видом градиента и матрицы Гессе :

где матрица Якоби вектор-функции , — матрица Гессе для её компоненты .

Тогда очередной шаг определяется из системы:

Метод Гаусса — Ньютона

Метод Гаусса — Ньютона строится на предположении о том, что слагаемое доминирует над . Это требование не соблюдается, если минимальные невязки велики, то есть если норма сравнима с максимальным собственным значением матрицы . В противном случае можно записать:

Таким образом, когда норма близка к нулю, а матрица имеет полный столбцевой ранг , шаг мало отличается от ньютоновского (с учётом ), и метод может достигать квадратичной скорости сходимости, хотя вторые производные и не учитываются. Улучшением метода является алгоритм Левенберга — Марквардта , основанный на эвристических соображениях.

Обобщение на комплексную плоскость

Бассейны Ньютона для полинома пятой степени . Разными цветами закрашены области притяжения для разных корней. Более тёмные области соответствуют большему числу итераций.

До сих пор в описании метода использовались функции, осуществляющие отображения в пределах множества вещественных значений . Однако метод может быть применён и для нахождения нуля функции комплексной переменной . При этом процедура остаётся неизменной:

Особый интерес представляет выбор начального приближения . Ввиду того, что функция может иметь несколько нулей, в различных случаях метод может сходиться к различным значениям, и вполне естественно возникает желание выяснить, какие области обеспечат сходимость к тому или иному корню. Этот вопрос заинтересовал Артура Кэли ещё в 1879 году , однако разрешить его смогли лишь в 70 -х годах двадцатого столетия с появлением вычислительной техники. Оказалось, что на пересечениях этих областей (их принято называть областями притяжения ) образуются так называемые фракталы — бесконечные самоподобные геометрические фигуры.

Ввиду того, что Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам , фракталы, образованные в результате такого применения, обрели название фракталов Ньютона или бассейнов Ньютона .

Реализация

Scala

object NewtonMethod {

  val accuracy = 1e-6

  @tailrec
  def method(x0: Double, f: Double => Double, dfdx: Double => Double, e: Double): Double = {
    val x1 = x0 - f(x0) / dfdx(x0)
    if (abs(x1 - x0) < e) x1
    else method(x1, f, dfdx, e)
  }

  def g(C: Double) = (x: Double) => x*x - C

  def dgdx(x: Double) = 2*x

  def sqrt(x: Double) = x match {
    case 0 => 0
    case x if (x < 0) => Double.NaN
    case x if (x > 0) => method(x/2, g(x), dgdx, accuracy) 
  }
}

Python

from math import sin, cos
from typing import Callable
import unittest


def newton(f: Callable[[float], float], f_prime: Callable[[float], float], x0: float, 
	eps: float=1e-7, kmax: int=1e3) -> float:
	"""
	solves f(x) = 0 by Newton's method with precision eps
	:param f: f
	:param f_prime: f'
	:param x0: starting point
	:param eps: precision wanted
	:return: root of f(x) = 0
	"""
	x, x_prev, i = x0, x0 + 2 * eps, 0
	
	while abs(x - x_prev) >= eps and i < kmax:
		x, x_prev, i = x - f(x) / f_prime(x), x, i + 1

	return x


class TestNewton(unittest.TestCase):
	def test_0(self):
		def f(x: float) -> float:
			return x**2 - 20 * sin(x)


		def f_prime(x: float) -> float:
			return 2 * x - 20 * cos(x)


		x0, x_star = 2, 2.7529466338187049383

		self.assertAlmostEqual(newton(f, f_prime, x0), x_star)


if __name__ == '__main__':
	unittest.main()

PHP

<?php
// PHP 5.4
function newtons_method(
	$a = -1, $b = 1, 
	$f = function($x) {
	
		return pow($x, 4) - 1;
	
	},
	$derivative_f = function($x) {

		return 4 * pow($x, 3);
	
	}, $eps = 1E-3) {

        $xa = $a;
        $xb = $b;

        $iteration = 0;

        while (abs($xb) > $eps) {

            $p1 = $f($xa);
            $q1 = $derivative_f($xa);
            $xa -= $p1 / $q1;
            $xb = $p1;
            ++$iteration;

        }

        return $xa;

}

Octave

function res = nt()
  eps = 1e-7;
  x0_1 = [-0.5,0.5];
  max_iter = 500;
  xopt = new(@resh, eps, max_iter);   
  xopt
endfunction
function a = new(f, eps, max_iter)
  x=-1;
  p0=1;
  i=0;
 while (abs(p0)>=eps)
    [p1,q1]=f(x);
    x=x-p1/q1;
   p0=p1;
   i=i+1;
 end
 i
 a=x;
endfunction
function[p,q]= resh(x)   % p= -5*x.^5+4*x.^4-12*x.^3+11*x.^2-2*x+1;
   p=-25*x.^4+16*x.^3-36*x.^2+22*x-2;
   q=-100*x.^3+48*x.^2-72*x+22;
endfunction

Delphi

// вычисляемая функция
function fx(x: Double): Double;
begin
  Result := x * x - 17;
end;

// производная функция от f(x)
function dfx(x: Double): Double;
begin
  Result := 2 * x;
end;

function solve(fx, dfx: TFunc<Double, Double>; x0: Double): Double;
const
  eps = 0.000001;
var
  x1: Double;
begin
  x1 := x0 - fx(x0) / dfx(x0); // первое приближение
  while (Abs(x1-x0) > eps) do begin // пока не достигнута точность 0.000001
    x0 := x1;
    x1 := x1 - fx(x1) / dfx(x1); // последующие приближения
  end;
  Result := x1;
end;

// Вызов
solve(fx, dfx,4));

C++

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define eps 0.000001
double fx(double x) { return x * x - 17;} // вычисляемая функция
double dfx(double x) { return 2 * x;} // производная функции

typedef double(*function)(double x); // задание типа function

double solve(function fx, function dfx, double x0) {
  double x1  = x0 - fx(x0) / dfx(x0); // первое приближение
  while (fabs(x1 - x0) > eps) { // пока не достигнута точность 0.000001
    x0 = x1;
    x1 = x0 - fx(x0) / dfx(x0); // последующие приближения
  }
  return x1;
}

int main () {
  printf("%f\n", solve(fx, dfx, 4)); // вывод на экран
  return 0;
}

C

typedef double (*function)(double x);

double TangentsMethod(function f, function df, double xn, double eps) {
   double x1  = xn - f(xn)/df(xn);
   double x0 = xn;
   while(abs(x0-x1) > eps) {
      x0 = x1;
      x1 = x1 - f(x1)/df(x1);
   }
   return x1;
}

//Выбор начального приближения
xn = MyFunction(A)*My2Derivative(A) > 0 ? B : A;

double MyFunction(double x) { return (pow(x, 5) - x - 0.2); } //Ваша функция
double MyDerivative(double x) { return (5*pow(x, 4) - 1); } //Первая производная
double My2Derivative(double x) { return (20*pow(x, 3)); } //Вторая производная

//Пример вызова функции
double x = TangentsMethod(MyFunction, MyDerivative, xn, 0.1)

Haskell

import Data.List ( iterate' )

main :: IO ()
main = print $ solve (\ x -> x * x - 17) ( * 2) 4

-- Функция solve универсальна для всех вещественных типов значения которых можно сравнивать.
solve = esolve 0.000001

esolve epsilon func deriv x0 = fst . head $ dropWhile pred pairs
  where
    pred (xn, xn1) = (abs $ xn - xn1) > epsilon -- Функция pred определяет достигнута ли необходимая точность.
    next xn = xn - func xn / deriv xn -- Функция next вычисляет новое приближение.
    iters   = iterate' next x0        -- Бесконечный список итераций.
    pairs   = zip iters (tail iters)  -- Бесконечный список пар итераций вида: [(x0, x1), (x1, x2) ..].

Fortran

!   Main program
    REAL*8:: Xbeg, F, D1F, error  ! Имена переменных в главной программе и подпрограмме могут отличаться    
    INTEGER  Niter, Ncalc         ! Xbeg - начальное значение, F - функция, D1F - её производная, error - остаточная ошибка
        ***                       ! Niter - заданное число итераций, Ncalc - число выполненных итераций до достижения погрешности
    CALL NEWTON(Xbeg, Niter, F, D1F, Ncalc, error)
        ***
C======================================================
    SUBROUTINE NEWTON(X0, Nmax, Func, D1Func, Nevl, rer) ! Простейший вариант устойчиво работающей программы для нахождения корня  без второй производной                                                               

	REAL*8:: X0, X1, XB, q, Func, D1Func, rer, eps       ! Итог вычисления будет записан в переменную Х0
	INTEGER  Nmax, Nevl
	
	IF(Nmax*(1000-Nmax).LE.0) Nmax=1000                 ! Защита от дурака
	                Nevl=1; XB=X0
	DO I=1, Nmax
	IF(Func(X0).EQ.0.)            EXIT
    IF(D1Func(X0).EQ.0.)          THEN
    Print *, 'Error from NEWTON: D1Func=', D1Func(X0), '  X=', X0, '  I=', I
                                  EXIT
    END IF                   
		
	X1=X0-Func(X0)/D1Func(X0) 
	
	q=abs(D1Func(X0));  q=abs(1.-q)/q
	eps=MAX(rer, epsilon(X0))                           ! epsilon(X0) - машинная точность; выбирается, если rer=0.
	IF(abs(X0-X1).LE.q*eps)       EXIT
	
	X0=X1
	END DO
    
    IF(abs(Func(X0)).GE.abs(Func(XB))) PAUSE 'Error from NEWTON: Change the X0!'

	If(I.ne.Nmax+1) Nevl=I
	If(I.eq.Nmax+1) Nevl=Nmax
	
	END SUBROUTINE

Литература

  • Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах : Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. — М. : Высшая школа, 1986. — 319 с. : ил. — ББК 22.1 А44 . — УДК .
  • Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров : Учеб. пособие. — М. : Высшая школа, 1994. — 544 с. : ил. — ББК 32.97 А62 . — УДК . — ISBN 5-06-000625-5 .
  • Бахвалов Н. С., Жидков Н. П. , Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд. — М. : Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
  • Вавилов С. И. . — М. : Изд. АН СССР, 1945.
  • Волков Е. А. Численные методы. — М. : Физматлит, 2003.
  • Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М. : Мир, 1985.
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М. : Наука, 1970. — С. 575—576.
  • Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — Энергоатомиздат, 1972.
  • Максимов Ю. А.,Филлиповская Е. А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М. : МИФИ, 1982.
  • Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — МИФИ, 2002.

См. также

Примечания

  1. Исаак Ньютон. Книга I. О движении тел. Отдел VI. Об определении движения по заданным орбитам // Математические начала натуральной философии / перевод с латинского и комментарии А.Н. Крылова, под редакцией Л.С. Полака. — Москва: URSS, 2017. — С. 156-158. — ISBN 978-5-9710-4231-0 .

Ссылки

Источник —

Same as Метод Ньютона