Группа восьми (художественная группа)
- 1 year ago
- 0
- 0
Редуктивная группа — алгебраическая группа , для которой её является тривиальным. Над незамкнутым полем редуктивность алгебраической группы определяется как редуктивность её над замыканием основного поля.
Линейно-редуктивная группа — группа, любое которой вполне приводимо. Любая линейно-редуктивная группа редуктивна. Над полем характеристики 0 верно и обратное, то есть эти свойства равносильны.
Редуктивные группы включают большинство важных групп, таких как полная линейная группа GL ( n ) обратимых матриц , специальная ортогональная группа SO ( n ), и симплектическая группа Sp (2 n ). Простые алгебраические группы и (более общие) полупростые алгебраические группы являются редуктивными.
Клод Шевалле показал, что классификация редуктивных групп одна и та же над любым алгебраически замкнутым полем . В частности, простые алгебраические группы классифицируются диаграммами Дынкина , как в теории или комплексных полупростых групп Ли . Редуктивные группы над произвольным полем классифицировать труднее, но для многих полей, таких как поле вещественных чисел R или числовое поле , классификация вполне понятна. Классификация простых конечных групп утверждает, что большинство конечных простых групп возникает как группа G ( k ) k - простой алгебраической группы G над конечным полем k или как вариант такого построения с небольшими отклонениями.
Редуктивные группы имеют богатую теорию представлений в различных контекстах. Во-первых, можно изучать представления редуктивной группой G над полем k как алгебраические группы, которые являются действиями группы G на k -векторном пространстве. Можно также изучать комплексные представления группы G ( k ), когда k является конечным полем, бесконечномерным вещественной редуктивной группы или . Структурная теория редуктивных групп используется во всех этих областях.
Линейная алгебраическая группа над полем k определяется как замкнутая группы GL ( n ) над полем k для некоторого положительного целого n . Эквивалентно, линейная алгебраическая группа над k является гладкой аффинной групповой схемой над полем k .
Связная линейная алгебраическая группа G над алгебраически замкнутым полем называется полупростой , если любая гладкая связная разрешимая нормальная подгруппа группы G тривиальна. Более обще, связная линейная алгебраическая группа G над алгебраически замкнутым полем называется редуктивной , если любая гладкая связная унипотентная нормальная подгруппа группы G тривиальна . (Некоторые авторы не требуют связности для редуктивных групп.) Группа G над произвольным полем k называется полупростой или редуктивной, если схема, полученная расширением базы , полупроста или редуктивна, где является алгебраическим замыканием поля k . (Это эквивалентно определению редуктивных групп в предположении совершенства поля k .) Любой тор над полем k , такой как мультипликативная группа G m , редуктивен.
Базовым примером нередуктивной линейной алгебраической группы служит аддитивная группа G a над полем.
Линейная алгебраическая группа G над полем k называется простой (или k - простой ), если она полупроста, нетривиальна и любая гладкая связная нормальная подгруппа группы G над полем k тривиальна или равна G . (Некоторые авторы называют это свойство «почти простая».) Это слегка отличается от терминологии абстрактных групп в том, что простая алгебраическая группа может иметь нетривиальный центр (хотя центр должен быть конечным). Например, для любого целого n , не меньшего 2 и любого поля k группа SL ( n ) над k проста и её центр является групповой схемой μ n n -х корней из единицы.
Центральная изогения редуктивных групп является сюръективным гомоморфизмом с ядром в виде конечной схемы подгруппы. Любая редуктивная группа над полем допускает центральную изогению из произведения тора и некоторых простых групп. Например, над любым полем k ,
Несколько выглядит неуклюже при определении редуктивной группы над полем ссылка на алгебраическое замыкание. Для совершенного поля k это можно опустить — линейная алгебраическая группа G над полем k редуктивна тогда и только тогда, когда любая гладкая связная унипотентная нормальная k -подгруппа группы G тривиальна. Для произвольного поля последнее свойство определяет псевдоредуктивную группу , которая несколько более общая.
Редуктивная группа G над полем k называется расщепимой , если она содержит расщепимый максимальный тор T над k (то есть расщепимый тор в G , смена базы которого на даёт максимальный тор в ). Согласно Александру Гротендику это эквивалентно высказыванию, что T является расщепимым тором в группе G , где T — максимальный среди всех k -торов в G .
Фундаментальным примером редуктивной группы является полная линейная группа GL ( n ) обратимых n × n матриц на полем k для натурального числа n . В частности, мультипликативная группа G m является группой GL (1), а тогда её группа G m ( k ) k -рациональных точек является группой k * ненулевых элементов группы k по умножению. Другой редуктивной группой является специальная линейная группа SL ( n ) над полем k , подгруппа матриц с определителем 1. Фактически, SL ( n ) является простой алгебраической группой при n , не меньших 2.
Важной простой группой является симплектическая группа Sp (2 n ) над полем k , подгруппа группы GL (2 n ), которая сохраняет невырожденную знакопеременную билинейную форму на векторном пространстве k 2 n . Также ортогональная группа O ( q ) является подгруппой полной линейной группы, сохраняющей невырожденную квадратичную форму q на векторном пространстве над полем k . Алгебраическая группа O ( q ) имеет две связные компоненты , а её SO ( q ) редуктивна и, фактически, является простой для q с размерностью n , не меньшей 3. (Для поля k характеристики 2 и нечётного n групповая схема O ( q ), фактически, связна, но не гладка над k . Простую группу SO ( q ) можно всегда определить как максимальную гладкую связную подгруппу группы O ( q ) над полем k .) Если поле k алгебраически замкнуто, любые две (невырожденные) квадратичные формы одной и той же размерности изоморфны, а потому целесообразно называть эту группу SO ( n ). Для поля k общего вида различные квадратичные формы размерности n могут дать неизоморфные простые группы SO ( q ) над k , хотя все они имеют замену базы на алгебраическое замыкание .
Любая компактная связная группа Ли имеет , которая является комплексной редуктивной алгебраической группой. Фактически, данное построение даёт взаимно однозначное соответствие между компактными связными группами Ли и комплексными редуктивными группами (с точностью до изоморфизма). Для компактной группы Ли K с комплексификацией G включение из K в комплексную редуктивную группу G ( C ) является гомотопической эквивалентностью по отношению к классической топологии на G ( C ). Например, включение из унитарной группы U ( n ) в GL ( n , C ) является гомотопической эквивалентностью.
Для редуктивной группы G над полем с характеристикой ноль все представления группы G (как алгебраической группы) полностью приводимы, то есть они являются прямыми суммами неприводимых (reducible) представлений . Этот факт является источником названия «редуктивная» (reductive). Заметим, однако, что полная приводимость не выполняется для редуктивных групп с положительной характеристикой (помимо торов). Более детально: аффинная групповая схема G конечного типа над полем k называется линейно редуктивной , если её представления полностью редуктивны. Для поля k характеристики ноль группа G линейно редуктивна тогда и только тогда, когда единичная компонента G o группы G редуктивна . Для поля k с характеристикой p >0, однако, Масаёси Нагата показал, что группа G линейно редуктивна тогда и только тогда, когда группа G o и G / G o имеет порядок, взаимно простой с p .
Классификация редуктивных алгебраических групп осуществляется в терминах ассоциированной системы корней , как в теориях комплексных полупростых алгебр Ли или компактных групп Ли.
Пусть G является расщепимой редуктивной группой над полем k и пусть T является расщепимым максимальным тором в G . Тогда T изоморфен для некоторого n и n называется рангом группы G . Любое представление тора T (как алгебраической группы) является прямой суммой 1-мерных представлений . Вес для группы G означает класс изоморфизмов 1-мерных представлений тора T или, эквивалентно, гомоморфизм . Веса образуют группу X ( T ) по тензорному произведению представлений, где X ( T ) изоморфна произведению n копий группы целых чисел Z n .
Присоединённое представление является действием группы G путём сопряжения на её алгебре Ли . Корень группы G означает ненулевой вес, который появляется в действии тора на . Подпространство пространства , соответствующее каждому корню, является одномерным, а подпространство пространства , фиксированное тором T , является в точности алгеброй Ли тора T . Поэтому алгебра Ли групп G распадается на и одномерные подпространства, индексированные множеством Φ корней:
Например, если G является группой GL ( n ), её алгебра Ли является векторным пространством всех матриц над полем k . Пусть T — подгруппа диагональных матриц в G . Тогда разложение на корневые пространства выражает в виде прямой суммы диагональных матриц и 1-мерных подпространств, индексированных недиагональными позициями ( i , j ). Обозначая через L 1 ,..., L n стандартный базис весовой решётки , корнями будут элементы для всех от 1 до n .
Корни полупростой группы образуют систему корней . Это комбинаторная структура, которую можно полностью классифицировать. Более обще, корни редуктивной группы образуют слегка отличный вариант . Группа Вейля редуктивной группы G означает факторгруппу нормализатора максимального тора по тору . Группа Вейля, фактически, является конечной группой, генерируемой отражениями. Например, для группы GL ( n ) (или SL ( n )), группой Вейля служит симметрическая группа S n .
Существует конечное число подгрупп Бореля , содержащих данный максимальный тор, и они переставляются простотранзитивно группой Вейля (действуя сопряжением ) . Выбор подгруппы Бореля определяет множество положительных корней со свойством, что Φ является дизъюнктным объединением Φ + и −Φ + . Очевидно, что алгебра Ли подгруппы Бореля B является прямой суммой алгебры Ли группы T и пространств положительных корней:
Например, если B является подгруппой Бореля верхнетреугольных матриц в GL ( n ), то это является, очевидно, декомпозицией подпространства верхнетреугольных матриц в . Положительными корнями являются для .
Простой корень означает положительный корень, который не является суммой двух каких-либо положительных корней. Обозначим через множество всех простых корней. Число r простых корней, равное рангу подгруппы коммутаторов группы G , называется полупростым рангом группы G (который является простым рангом группы G , если G полупроста). Например, простыми корнями группы (или ) являются для .
Системы корней классифицируются соответствующими диаграммами Дынкина , являющимися конечными графами (в которых некоторые рёбра могут иметь направление или быть кратными). Множеством вершин диаграммы Дынкина является множество простых корней. Вкратце, диаграмма Дынкина описывает углы между простыми корнями и их относительные длины с учётом (группового инварианта Вейля) скалярного произведения на решётке весов. Связные диаграммы Дынкина (соответствующие простым группам) приведены ниже.
Для расщепимой редуктивной группы G над полем k важным пунктом является то, что корень определяет не просто 1-мерное подпространство алгебры Ли группы G , но также копию аддитивной группы G a в G с данной алгеброй Ли, которая называется корневой подгруппой U α . Корневая подгруппа является единственной копией аддитивной группы в G , которая нормализуется тором T , и которая имеет данную алгебру Ли . Полная группа G генерируется (как алгебраическая группа) тором T и подгруппами корней, в то время как подгруппа Бореля B генерируется тором T и подгруппами положительных корней. Фактически, расщепимая полупростая группа G генерируется одной лишь подгруппой корней.
Для расщепимой редуктивной группы G над полем k гладкие связные подгруппы группы G , содержащие данную подгруппу Бореля B группы G , взаимно однозначно соответствуют подмножествам множества Δ простых корней (или эквивалентно, подмножеству множества вершин диаграммы Дынкина). Пусть r — порядок множества Δ, полупростой ранг группы G . Любая группы G сопряжена подгруппе, содержащей B , посредством некоторого элемента G ( k ). Как результат, имеется в точности 2 r классов сопряжённости параболических подгрупп в группе G над полем k . Ясно, что параболическая подгруппа, соответствующая данному подмножеству S множества Δ, является группой, генерируемой подгруппой B вместе с подгруппами корней для α из S . Например, параболические подгруппы группы GL ( n ), содержащие подгруппу Бореля B , являются группами обратимых матриц с нулевыми элементами ниже данного набора квадратов вдоль диагонали, такие как:
По определению, параболическая подгруппа P редуктивной группы G над полем k является гладкой k -подгруппой, такой, что фактормногообразие G / P является над k , или, эквивалентно, проективным над k . Тогда классификация параболических подгрупп равносильна классификации для G (с гладкой стационарной подгруппой, то есть никаких ограничений для поля k с нулевой характеристикой). Для GL ( n ), это многообразия флагов , параметризующая последовательность линейных подпространств данных размерностей a 1 ,..., a i , содержащихся в фиксированном векторном пространстве V размерности n :
Для ортогональной группы или симплектической группы проективные однородные многообразия имеют похожее описание как многообразия флагов с учётом данной квадратичной формы или симплектичной формы. Для любой редуктивной группы G с подгруппой Бореля B G / B называется многообразием флагов или флаговым многообразием группы G .
Шевалле показал в 1958, что редуктивные группы над любым алгебраически замкнутым полем классифицируются с точностью до изоморфизма корнями . В частности, полупростые подгруппы над алгебраически замкнутым полем классифицируются с точностью до центральной изогении их диаграммами Дынкина, а простые группы соответствуют связным диаграммам. То есть существуют простые группы типа A n , B n , C n , D n , E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 . Этот результат, по существу, идентичен классификации компактных групп Ли или комплексных полупростых алгебр Ли Вильгельма Киллинга и Эли Жозефа Картана в 1880-х и 1890-х годах. В частности, размерности, центры и другие свойства простых алгебраических групп можно получить из . Замечательно, что эта классификация редуктивных групп не зависит от характеристик . Для сравнения, существует много больше простых алгебр Ли с положительной характеристикой, чем с нулевой характеристикой.
Исключительные группы G типа G 2 и E 6 построил ранее, по меньшей мере в виде абстрактных групп G ( k ), Леонард Диксон . Например, группа G 2 является группой автоморфизмов алгебры октонионов над полем k . В отличие от этого, группы Шевалле типов F 4 , E 7 , E 8 над полем с положительной характеристикой были совершенно новыми.
Более обще, классификация расщепимых редуктивных групп одинакова над любым полем . Полупростая группа G над полем k называется односвязной , если любая центральная изогения из полупростой группы в группу G является изоморфизмом. (Для полупростой группы G над комплексными числами быть в этом смысле односвязным пространством эквивалентно группе G ( C ) быть односвязным пространством в классической топологии.) Классификация Шевалле показывает, что над любым полем k существует единственная простая односвязная расщепимая полупростая группа G с заданной диаграммой Дынкина, с простыми группами, соответствующими связным диаграммам. И наоборот, полупростая группа имеет сопряжённый тип , если её центр тривиален. Расщепимые простые группы над полем k с данной диаграммой Дынкина являются в точности группами G / A , где G — односвязная группа, а A — схема k -подгруппы центра группы G .
Например, односвязные расщепимые простые группы над полем k , соответствующие «классическим» диаграммам Дынкина, следующие:
расщепимой редуктивной группы G над полем k изоморфна группе автоморфизмов корневых данных группы G . Более того, группа автоморфизмов группы G расщепляется как полупрямое произведение :
где Z — центр группы G . Для расщепимой полупростой односвязной группы G над полем группа внешних автоморфизмов группы G имеет более простое описание — это группа автоморфизмов диаграмм Дынкина группы G .
Групповая схема G над схемой S называется редуктивной , если морфизм является гладким и аффинным, а любой геометрический слой является редуктивным. (Для точки p из S соответствующий геометрический слой означает замену базы группы G на алгебраическое замыкание поля вычетов для p .) Расширяя труд Шевалле, Демазюр и Гротендик показали, что расщепимые схемы редуктивной группы над любой непустой схемой S классифицируются корневыми данными . Это утверждение включает существование групп Шевалле как групповых схем над Z и оно утверждает, что любая расщепимая редуктивная группа над схемой S изоморфна замене базы группы Шевалле с Z на S .
В контексте групп Ли , а не алгебраических групп, вещественная редуктивная группа — это группа Ли G , такая, что существует линейная алгебраическая группа L над R , единичная компонента которой (в топологии Зарисского ) редуктивна, и гомоморфизм , ядро которого конечно и образ которого открыт в L ( R ) (в классической топологии). Обычно предполагается, что образ присоединённого представления Ad( G ) содержится в (что выполняется автоматически для связной группы G ) .
В частности, любая связная полупростая группа Ли (что означает, что её алгебра Ли полупроста) редуктивна. Также группа Ли R редуктивна в этом смысле, поскольку её можно рассматривать как единичную компоненту группы GL (1, R ) ≅ R *. Задача классификации вещественных редуктивных групп сильно сокращается для классификации простых групп Ли. Они классифицируются по их . Можно также просто ссылаться на (с точностью до конечных покрытий).
Полезные теории и унитарных представлений разрабатывались в общих чертах для вещественных редуктивных групп. Основное отличие между этим определением и определением редуктивной алегбраической группы в том, что алгебраическая группа G над R может быть связной как алгебраическая группа, но не связной как группа Ли G ( R ), и аналогично для односвязных групп.
Например, проективная группа PGL (2) является связной как алгебраическая группа над любым полем, но её группа вещественных точек PGL (2, R ) имеет две связные компоненты. Единичная компонента группы PGL (2, R ) (иногда называемая PSL (2, R )) является вещественной редуктивной группой, которую нельзя рассматривать как алгебраическую группу. Аналогично, SL (2) является односвязной как алгебраическая группа над любым полем, но группа Ли SL (2, R ) имеет фундаментальную группу , изоморфную группе целых чисел Z , а потому SL (2, R ) имеет нетривиальные накрывающие пространства . По определению, все конечные накрытия группы SL (2, R ) (такие как ) являются вещественными редуктивными группами. С другой стороны, универсальное накрытие группы SL (2, R ) не является редуктивной группой, даже хотя её алгебра является , то есть произведением полупростой алгебры Ли и абелевой алгебры Ли.
Для связной вещественной редуктивной группы G фактормногообразие G / K группы G по максимальной компактной подгруппе K является симметрическим пространством некомпактного типа. Фактически, любое симметрическое пространство некомпактного типа получается таким образом. Они являются центральными примерами в римановой геометрии многообразий с неположительной секционной кривизной . Например, SL (2, R )/ SO (2) является гиперболической плоскостью , а SL (2, C )/ SU (2) является гиперболическим 3-мерным пространством.
Для редуктивной группы G над полем k , являющимся полным по отношению к дискретному нормированию (таким как p-адические числа Q p ), X группы G играет роль симметрического пространства. А именно, X является симплициальным комплексом с действием G ( k ), и G ( k ) сохраняет метрику на X , аналог метрики с неположительноё кривизной. Размерность аффинных строений равна k -рангу группы G . Например, строение группы SL (2, Q p ) является деревом .
Для расщепимой редуктивной группы G над полем k неприводимые представления группы G (как алгебраической группы) параметризуются главными весами, которые определяются как пересечение весовой решётки с выпуклым конусом ( камерой Вейля ) в R n . В частности, эта параметризация не зависит от характеристики поля k . Более детально, если зафиксировать расщепимый максимальный тор и подгруппу Бореля, , то B является полупрямым произведением тора T с гладкой связной унипотентной подгруппой U . Определим вектор наибольших весов в представлении V группы G над полем k как ненулевой вектор v , такой, что B отображает прямую, порождённую вектором v в себя. Тогда B действует на эту прямую посредством её факторгруппы T посредством некоторого элемента весовой решётки X ( T ). Шевалле показал, что любое неприводимое представление группы G имеет единственный вектор наибольших весов с точностью до скаляра. Соответствующий «наибольший вес» является доминантным, а любой главный вес является наибольшим весом единственного неприводимого представления группы G с точностью до изоморфизма .
Остаётся задача описания неприводимого представления с данным наибольшим весом. Для поля k с нулевой характеристикой существуют вполне полные ответы. Для главного веса определим модуль Шура как k -векторное пространство сечений G -эквивариантного одномерного расслоения на G / B , ассоциированном с . Модуль является представлением группы G . Для поля k с нулевой характеристикой утверждает, что неприводимое представление изоморфно модулю Шура . Более того, даёт характер (и, в частности, размерность) этого представления.
Для расщепимой редуктивной группы G над полем k с положительной характеристикой, ситуация много более тонкая, поскольку представления группы G типично не являются прямой суммой неприводимых. Для главного веса неприводимое представление является единственным простым подмодулем ( цоколем ) модуля Шура , но не обязательно равным модулю Шура. Согласно Джорджу Кемпфу размерность и характер модуля Шура задаются характером Вейля (как в случае нулевой характеристики) . Размерность и характеры неприводимых представлений в общем случае неизвестны, хотя большое количество теоретических разработок сделано для анализа этих представлений. Важным результатом, полученным Хеннингом Андерсеном, Дженсом Джентценом и Вольфгангом Соргелем (доказывая гипотезу Люстига ), является то, что размерность и характер известны, если характеристики p поля k много больше числа Коксетера группы G . Их формула для характера для большого p опирается на , которые комбинаторно сложны . Саймон Рич и Джорди Уильямсон высказали гипотезу о неприводимых характерах редуктивной группы для любого простого p в терминах p -многочленов Каждана — Лустига, которые даже более сложны, но, по крайней мере, вычислимы .
Как описано выше, классификация расщепимых редуктивных групп одинакова над любым полем. Для контраста, классификация произвольных редуктивных групп может иметь разную трудность, зависящую от базового поля. Некоторые примеры среди
В результате задача классификации редуктивных групп над полем k включает задачи классификации всех квадратичных форм над k или всех центральных простых алгебр над k . Эти задачи просты для алгебраически замкнутого поля k и понятны для некоторых других полей, таких как числовые поля, но для произвольных полей есть много открытых вопросов.
Редуктивная группа над полем k называется изотропной , если она имеет k -ранг, больший 0 (то есть, если она содержит нетривиальный расщепимый тор), в противном случае она называется анизотропной . Для полупростой группы G над полем k следующие условия эквивалентны:
Когда поле k совершенно, это эквивалентно утверждению, что G ( k ) содержит унипотентный элемент, отличный от 1 .
Для связной линейной алгебраической группы G над локальным полем k нулевой характеристики (таким как вещественные числа), группа G ( k ) компактна в классической топологии (основанной на топологии поля k ) тогда и только тогда, когда G является редуктивной и анизотропной . Пример: ортогональная группа SO ( p , q ) над R имеет ранг min( p , q ), а она тогда анизотропна тогда и только тогда, когда p или q равны нулю .
Редуктивная группа G над полем k называется квазирасщепимой , если она содержит подгруппу Бореля над k . Расщепимая редуктивная группа является квазирасщепимой. Если G квазирасщепима над k , то любые две подгруппы Бореля группы G сопряжены некоторым элементом группы G ( k ) . Пример: ортогональная группа SO ( p , q ) над R является расщепимой тогда и только тогда, когда , и квазирасщепимой тогда и только тогда, когда .
Для односвязной расщепимой полупростой группы G над полем k , Роберт Стайнберг дал явное задание абстрактной группы G ( k ) . Группа генерируется копией аддитивной группы поля k , индексированной корнями группы G (подгруппой корней) со связями, определяемыми диаграммой Дынкина группы G .
Для односвязной расщепимой полупростой группы G над совершенным полем k Стайнберг определяет также группу автоморфизмов абстрактной группы G ( k ). Любой автоморфизм является произведением внутреннего автоморфизма , диагонального автоморфизма (означающего сопряжение по подходящей -точке максимального тора), автоморфизма графа (соответствующего автоморфизму диаграммы Дынкина) и автоморфизма поля (происходящего из автоморфизма поля k ) .
Для k -простой алгебраической группы G теорема простоты Титса утверждает, что абстрактная группа G ( k ) близка к простой группе, при мягких условиях. А именно, предположим, что группа G является изотропной над полем k , и предположим, что поле k имеет по меньшей мере 4 элемента. Пусть является подгруппой абстрактной группы G ( k ), генерируемой k -точками копий аддитивной группы G a над k , содержащейся в G . (При допущении, что группа G изотропна k , группа нетривиальна и даже плотна по Зарисскому на G , если k бесконечно.) Тогда факторгруппа группы по её центру проста (как абстрактная группа) . Доказательство использует устройство пар (B, N) Жака Титса .
Исключения для полей порядка 2 или 3 хорошо проработаны. Для k = F 2 теорема простоты Титса остаётся верной, за исключением случаев, когда G является расщепимой группой типа A 1 , B 2 или G 2 или нерасщепимой (то есть унитарной) типа A 2 . Для k = F 3 теорема верна, за исключением случая, когда G имеет тип A 1 .
Для k -простой группы G , чтобы понять всю группу G ( k ), можно рассмотреть группу Уайтхеда . Для односвязной и квазирасщепимой группы G , группа Уайтхеда является тривиальной, а полная группа G ( k ) является простым модулем его центра . Более обще, спрашивает, для каких изотропных k -простых групп группа Уайтхеда является тривиальной. Во всех известных примерах W ( k , G ) абелева.
Для анизотропной k -простой группы G , абстрактная группа G ( k ) может быть далека от простой. Например, пусть D является алгеброй с делением с центром в виде p -адичного поля k . Предположим, что размерность группы D над k конечна и больше 1. Тогда G = SL (1, D ) является анизотропной k -простой группой. Как было упомянуто выше, G ( k ) является компактной в классической топологии. Поскольку она также является вполне несвязным пространством , G ( k ) является проконечной группой (но не конечной). Как результат, G ( k ) содержит бесконечно много нормальных подгрупп с конечным индексом .
Пусть G будет линейной алгебраической группой над рациональными числами Q . Тогда G может быть расширена до аффинной групповой схемы G над Z и это определяет абстрактную группу G ( Z ). Арифметическая группа означает любую подгруппу группы G ( Q ), которая с G ( Z ). (Арифметичность подгруппы G ( Q ) независима от выбора Z -структуры.) Например, SL ( n , Z ) является арифметичной подгруппой группы SL ( n , Q ).
Для группы Ли G , решётка в G означает дискретную подгруппу Γ группы G , такую, что многообразие G /Γ имеет конечный объём (с учётом G -инвариантной меры). Например, дискретная подгруппа Γ является решёткой, если G /Γ компактна. Теорема Маргулиса об арифметизации утверждает, в частности, что для простой группы Ли G вещественного ранга по меньшей мере равного 2, любая решётка в G является арифметической группой.
В поиске классификации редуктивных групп, которые не обязательно расщепимы, одним шагом является , который сокращает проблему до случая анизотропных групп. Это сведение обобщает некоторые фундаментальные теоремы в алгебре. Например, теорема разложения Витта утверждает, что невырожденная квадратичная форма над полем определена с точностью до изоморфизма её индексом Витта вместе с анизотропным ядром. Аналогично, теорема Артина — Веддербёрна сокращает классификацию центральных простых алгебр над полем до случая алгебр с делением. Обобщая эти результаты, Титс показал, что редуктивная группа над полем k определена с точностью до изоморфизма её индексом Титса вместе с её анизотропным ядром, ассоциированной анизотропной полупростой k -группой.
Для редуктивной группы G над полем k абсолютная группа Галуа Gal( k s / k ) действует (непрерывно) на «абсолютной» диаграмме Дынкина группы G , то есть диаграмме Дынкина группы G над сепарабельным замыканием k s (которая является диаграммой Дынкина группы G над алгебраическим замыканием ). Индекс Титса группы G состоит из корневых данных группы G k s , действий Галуа на диаграмме Дынкина и подмножества инвариантов Галуа вершин диаграммы Дынкина. Традиционно, индекс Титса отражается кружком вокруг орбит Галуа в данном подмножестве.
Имеется полная классификация квазирасщепимых групп в этих терминах. А именно, для каждого действия абсолютной группы Галуа поля k на диаграмму Дынкина имеется единственная односвязная полупростая квазирасщепимая группа H над полем k с заданным действием. (Для квазирасщепимой группы любая орбита Галуа в диаграмме Дынкина помечена кружком.) Более того, любая другая односвязная полупростая группа G над k с данным действием является квазиразделимой группы H , что означает, что группа G ассоциирована с элементом множества H 1 ( k , H / Z ), где Z — центр группы H . Другими словами, G является кручением группы H , ассоциированным с некоторым H / Z -торсором над k , как описано в следующем разделе.
Пример: Пусть q — невырожденная квадратичная форма чётной размерности 2 n над полем k с характеристикой, не равной 2, где (эти ограничения можно опустить). Пусть G — простая группа SO ( q ) над k . Абсолютная диаграмма Дынкина группы G — это группа типа D n , такая, что группа автоморфизмов имеет порядок 2 и она переключает два «ветки» диаграммы D n . Действие абсолютной группы Галуа поля k на диаграмму Дынкина тривиально тогда и только тогда, когда дискриминант (со знаком) d формы q в поле k */( k *) 2 тривиален. Если d нетривиален, то он кодируется в действии Галуа на диаграмме Дынкина: подгруппа с индексом 2 группы Галуа, которая действует как тождество, есть группа . Группа G расщепима тогда и только тогда, когда q имеет максимально возможный индекс Витта n , а G является квазирасщепимой тогда и только тогда, когда q имеет индекс Витта по меньшей мере n − 1 .
для аффинной групповой схемы G над полем k означает аффинную схему X над k с действием группы G , таким, что изоморфно группе Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle G_{\overline k}} с действием группы на себя левым переносом. Торсор можно также рассматривать как над k с учётом на k , или , если группа G является гладкой над k . Множество с отмеченной точкой изоморфизма классов G -торсоров над полем k называется H 1 ( k , G ) на языке когомологии Галуа.
Торсоры возникают, когда пытаются классифицировть формы данного алгебраического объекта Y над полем k , что означает объекты X над k , которые становятся изоморфными Y над алгебраическим замыканием поля k . А именно, такие формы (с точностью до изоморфизма) находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством H 1 ( k ,Aut( Y )). Например, (невырожденные) квадратичные формы размерности n над k классифицируются посредством H 1 ( k , O ( n )), и центральные простые алгебры степени n над k классифицируются посредством H 1 ( k , PGL ( n )). Также k -формы данной алгебраической группы G (иногда называемые «кручением» группы G ) классифицируются посредством H 1 ( k ,Aut( G )). Эти проблемы побуждают к систематическому изучению G -торсоров, особенно для редуктивных групп G .
Когда возможно, пытаются классифицировать G -торсоры с помощью , которые являются инвариантами, принимающими значения в когомологии Галуа с абелевыми группами коэффициентов M , H a ( k , M ). В этом направлении Стайнберг доказал «Гипотезу I Серра »: для связной линейной алгебраической группы G над совершенным полем не превосходящей 1, H 1 ( k , G ) = 1 (cлучай конечного поля был известен ранее как ). Из этого следует, например, что любая редуктивная группа над конечных полем квазирасщепима.
предсказывает, что для односвязной полупростой группы G над полем с когомологической размерностью, не превосходящей 2 H 1 ( k , G ) = 1. Гипотеза известна для (которое имеет когомологическую размерность 2). Более обще, для любого числового поля k Мартин Кнезер, Гюнтер Хардер и Владимир Черноусов (1989) доказали — для односвязной полупростой группы G над полем k отображение
биективно . Здесь v пробегает по всем местам поля k , а k v является соответствующим локальным полем (возможно, R или C ). Более того, множество с отмеченной точкой является тривиальным для любого неархимедова локального поля k v , а потому только вещественные места поля k имеют значение. Аналогичный результат глобального поля k положительной характеристики доказал ранее Хардер (1975) — для любой односвязной полупростой группы G над полем k , тривиально (поскольку k не имеет вещественных мест) .
В слегка другом случае присоединённого представления группы G над числовым полем k принцип Хассе верен в более слабой форме: естественное отображение
инъективно . Для G = PGL ( n ) это эквивалентно , утверждающей, что центральная простая алгебра над числовым полем определяется локальными инвариантами.
Основанная на принципе Хассе классификация полупростых групп над числовым полем хорошо проработана. Например, имеется в точности три Q -формы исключительной группы E 8 , соответствующих трём вещественным формам группы E 8 .