Бинарная группа икосаэдра 2I или <2,3,5> — это неабелева группа порядка 120. Группа является расширением I или (2,3,5) порядка 60 циклической группой порядка 2 и является прообразом группы икосаэдра при 2:1

${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {SO} (3)}$

специальной ортогональной группы спинорной группой . Отсюда следует, что бинарная группа икосаэдра является дискретной подгруппой группы Spin(3) порядка 120.

Не следует путать эту группу с , имеющей тот же порядок 120, но являющейся подгруппой ортогональной группы O(3).

Бинарная группа икосаэдра лучше всего описывается как дискретная подгруппа единичных кватернионов , при изоморфизме ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$ , где Sp(1) является мультипликативной группой единичных кватернионов .

Элементы

Явным образом бинарная группа икосаэдра задаётся объединением 24 кватернионов Гурвица

{ ±1, ± i , ± j , ± k , ½ (±1 ± i ± j ± k ) }

со всеми 96 кватернионами, получаемыми из

½ (0 ± i ± φ ⁻¹ j ± φ k )

путём чётных перестановок координат (все возможные комбинации). Здесь φ = ½ (1 + √5) — золотое сечение .

В сумме получаем 120 элементов (единичных икосианов ). Их модуль равен единице, а потому они лежат в группе единиц кватернионов Sp(1). Выпуклая оболочка этих 120 элементов в 4-мерном пространстве образует правильный 4-мерный многогранник , известный как шестисотячейник .

Свойства

Центральное расширение

Бинарная группа икосаэдра, обозначаемая 2 I , является группы икосаэдра и поэтому — это совершенное центральное расширение простой группы.

Конкретно, группа вписывается в короткую точную последовательность

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to 2I\to I\to 1.}$

Последовательность не является , то есть 2 I не является полупрямым произведением { ±1 } на I . Фактически не существует подгруппы группы 2 I , изоморфной I .

Центром группы 2 I является подгруппа { ±1 }, так что группа внутренних автоморфизмов изоморфна I . Полная группа автоморфизмов изоморфна S ₅ ( симметрической группе перестановок 5 букв), точно так же, как ${\displaystyle I\cong A_{5}}$ — любой автоморфизм 2 I фиксирует нетривиальный элемент центра ( ${\displaystyle -1}$ ), а потому сводится к автоморфизму I, и обратно, любой автоморфизм I поднимается к автоморфизму 2 I .

Сверхсовершенство

Бинарная группа икосаэдра является каиновой , то есть она совпадает со своим коммутантом . Фактически 2 I является единственной совершенной группой порядка 120. Отсюда следует, что 2 I является неразрешимой .

Более того, бинарная группа икосаэдра является , что означает, что её две первые группы гомологий нулевые — ${\displaystyle H_{1}(2I;\mathbf {Z} )\cong H_{2}(2I;\mathbf {Z} )\cong 0.}$ Это означает, что её абелианизация тривиальна (группа не имеет нетривиальных абелевых частных) и что её тривиален (группа не имеет нетривиальных совершенных центральных расширений). Фактически бинарная группа икосаэдра является наименьшей (нетривиальной) сверхсовершенной группой.

Бинарная группа икосаэдра, однако, не является , поскольку H _n (2 I , Z ) является циклической порядка 120 для n = 4 k +3 и тривиальной для других n > 0 .

Изоморфизмы

Бинарная группа икосаэдра является подгруппой Spin(3) и накрывает группу икосаэдра, которая является подгруппой SO(3). Группа икосаэдра изоморфна группе симметрий 4-мерного симплекса , которая является подгруппой SO(4), а бинарная группа икосаэдра изоморфна двойному накрытию её в Spin(4). Заметим, что симметрическая группа ${\displaystyle S_{5}}$ имеет 4-мерное представление (это обычно наименьшее по размерности неприводимое представление полных симметрий ${\displaystyle (n-1)}$ -мерного симплекса), а потому полный набор симметрий 4-мерного симплекса равен ${\displaystyle S_{5},}$ но это не полная группа икосаэдра (это две различные группы порядка 120).

Бинарную группу икосаэдра можно рассматривать как ${\displaystyle A_{5},}$ , ${\displaystyle 2\cdot A_{5}\cong 2I}$ . Этот изоморфизм накрывает изоморфизм группы икосаэдра с альтернирующей группой ${\displaystyle A_{5}\cong I}$ и может рассматриваться как подгруппы Spin(4) и SO(4) (а также подгруппы симметрической группы ${\displaystyle S_{5}}$ и любого из её двойных покрытий ${\displaystyle 2\cdot S_{5}^{\pm }}$ , которые, в свою очередь, являются подгруппами и пин-группы, и ортогональной группы ${\displaystyle \operatorname {Pin} ^{\pm }(4)\to \operatorname {O} (4)}$ ).

В отличие от икосаэдральной группы, которая является в трёхмерном пространстве, эти тетраэдральные и альтернирующие группы (и их двойные покрытия) существуют во всех размерностях.

Можно показать, что икосаэдральная группа изоморфна специальной линейной группе SL(2,5) — группе всех 2×2 матриц над конечным полем F ₅ с единичным определителем.

Задание группы

Группа 2 I имеет задание

${\displaystyle \langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{5}=rst\rangle }$

что эквивалентно

${\displaystyle \langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{5}\rangle .}$

Генераторы этого соотношения задаются формулой

${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(\varphi +\varphi ^{-1}i+j).}$

Подгруппы

Единственной нормальной подгруппой группы 2 I является центр { ±1 }.

По третьей теореме об изоморфизме существует соответствие Галуа между подгруппами 2 I и подгруппами I , где оператором замыкания на подгруппах 2 I является умножение на { ±1 }.

Элемент ${\displaystyle -1}$ является единственным элементом порядка 2, а потому содержится во всех подгруппах чётного порядка — любая подгруппа группы 2 I либо имеет нечётный порядок, либо является прообразом подгруппы группы I . Кроме циклических групп , образованных различными элементами (которые могут иметь нечётный порядок), другими подгруппами группы 2 I (с точностью до сопряжения) могут быть только:

• порядков 12 и 20 (покрывающие диэдральные группы D ₃ и D ₅ в I ).
• Группа кватернионов , состоящая из 8 единиц Липшица , образует подгруппу с индексом 15, которая также является дициклической группой Dic ₂ . Эта подгруппа покрывает стабилизатор ребра .
• 24 кватерниона Гурвица образуют подгруппу с индексом 5, бинарную группа тетраэдра . Эта подгруппа накрывает хиральную тетраэдральную группу . Последняя является самонормализованной , так что её класс сопряжённости имеет 5 элементов (это даёт отображение ${\displaystyle 2I\to S_{5}}$ , образ которого — ${\displaystyle A_{5}}$ ).

Связь с 4-мерными группами симметрии

4-мерным аналогом I _h служит симметрическая группа шестисотячейника (а также двойственного ему стодвадцатиячейника ). Первая является группой типа H ₃ , а вторая — группой типа H ₄ с тем же обозначением [3,3,5]. Её подгруппа вращений, , является группой порядка 7200, живущей в SO(4) . SO(4) имеет ( Spin(4) ) точно таким же образом, как Spin(3) является накрывающей группой SO(3). Подобно изоморфизму Spin(3) = Sp(1) группа Spin(4) изоморфна Sp(1) × Sp(1).

Прообраз [3,3,5] ⁺ в Spin(4) (четырёхмерный аналог 2 I ) — это в точности прямое произведение 2 I × 2 I порядка 14400. Группа вращений шестисотячейника — это

[3,3,5] ⁺ = (2 I × 2 I ) / { ±1 }.

Различные другие четырёхмерные симметрические группы можно образовать из 2 I . См. подробности у Конвея и Смита Conway .

Приложения

Пространство смежных классов Spin(3) / 2 I = S ³ / 2 I является , называемое сферой Пуанкаре . Это пример гомологической сферы, то есть 3-многообразие, группы гомологий которой равны таким же группам 3-сферы . Фундаментальная группа сферы Пуанкаре изоморфна бинарной группе икосаэдра, так как сфера Пуанкаре является факторгруппой 3-сферы по бинарной группе икосаэдра.

См. также

• Бинарная циклическая группа
• Бинарная группа тетраэдра

Примечания

Ссылки