Треуго́льник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами , равными его стороне . Негладкая замкнутая кривая , ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины . То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых , то расстояние между ними не будет зависеть от выбранного направления . Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.

Среди прочих фигур постоянной ширины треугольник Рёло выделяется рядом экстремальных свойств: наименьшей площадью , наименьшим возможным углом при вершине , наименьшей симметричностью относительно центра . Треугольник получил распространение в технике — на его основе были созданы кулачковые и грейферные механизмы, роторно-поршневой двигатель Ванкеля и даже дрели, позволяющие сверлить ( фрезеровать ) квадратные отверстия .

Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло . Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого так называемого криволинейного треугольника; также он использовал его в своих механизмах .

История

Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах ) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат , показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась .

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке . Тем не менее подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи . Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции , а также в .

Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира . Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников , которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов .

Ещё раньше, в XIII веке, создатели церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон .

Свойства

Треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой .

Основные геометрические характеристики

Если ширина треугольника Рёло равна ${\displaystyle a}$ , то его площадь равна

${\displaystyle S={{1} \over {2}}\left(\pi -{\sqrt {3}}\right)\cdot a^{2},}$

периметр

${\displaystyle p=\pi a,}$

радиус вписанной окружности

${\displaystyle r=\left(1-{{1} \over {\sqrt {3}}}\right)\cdot a,}$

а радиус описанной окружности

${\displaystyle R={{a} \over {\sqrt {3}}}}$ .

Симметрия

Треугольник Рёло обладает осевой симметрией . Он имеет три оси симметрии второго порядка, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также одну ось симметрии третьего порядка, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр . Таким образом, группа симметрий треугольника Рёло состоит из шести отображений (включая тождественное ) и совпадает с группой ${\displaystyle D_{3}}$ симметрий правильного треугольника .

Построение циркулем

Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля , не прибегая к линейке . Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей . Центр первой выбирается произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей.

Свойства, общие для всех фигур постоянной ширины

Поскольку треугольник Рёло является фигурой постоянной ширины, он обладает всеми общими свойствами фигур этого класса. В частности,

• с каждой из своих опорных прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке ;
• расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло ширины ${\displaystyle a}$ не может превышать ${\displaystyle a}$ ;
• отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рёло, перпендикулярен к этим опорным прямым ;
• через любую точку границы треугольника Рёло проходит по крайней мере одна опорная прямая ;
• через каждую точку ${\displaystyle P}$ границы треугольника Рёло проходит объемлющая его окружность радиуса ${\displaystyle a}$ , причём опорная прямая, проведённая к треугольнику Рёло через точку ${\displaystyle P}$ , является касательной к этой окружности ;
• радиус окружности, имеющей не меньше трёх общих точек с границей треугольника Рёло ширины ${\displaystyle a}$ , не превышает ${\displaystyle a}$ ;
• по теореме о множествах постоянной ширины треугольник Рёло нельзя разделить на две фигуры, диаметр которых был бы меньше ширины самого треугольника ;
• треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат , а также в правильный шестиугольник ;
• по теореме Барбье формула периметра треугольника Рёло справедлива для всех фигур постоянной ширины .

Экстремальные свойства

Наименьшая площадь

Среди всех фигур постоянной ширины ${\displaystyle a}$ у треугольника Рёло наименьшая площадь . Это утверждение носит название (по фамилиям немецкого геометра Вильгельма Бляшке , опубликовавшего теорему в 1915 году , и французского математика Анри Лебега , который сформулировал её в 1914 году ). В разное время варианты её доказательства предлагали Мацусабуро Фудзивара (1927 и 1931 год) , Антон Майер (1935 год) , Гарольд Эгглстон (1952 год) , Абрам Безикович (1963 год) , Дональд Чакериан (1966 год) , Эванс Харрелл (2002 год) и другие математики .

Чтобы найти площадь треугольника Рёло, можно сложить площадь внутреннего равностороннего треугольника

${\displaystyle S_{\triangle }={{\sqrt {3}} \over {4}}\cdot a^{2}}$

и площадь трёх оставшихся одинаковых круговых сегментов , опирающихся на угол в 60°

${\displaystyle S_{seg}={{a^{2}} \over {2}}\left({{\pi } \over {3}}-\sin {{\pi } \over {3}}\right)={\left({{\pi } \over {6}}-{{\sqrt {3}} \over {4}}\right)\cdot a^{2}},}$

то есть

${\displaystyle S_{rt}=S_{\triangle }+3S_{seg}={{1} \over {2}}\left(\pi -{\sqrt {3}}\right)\cdot a^{2}=a^{2}\cdot 0{,}70477\ldots }$

Фигура, обладающая противоположным экстремальным свойством — круг . Среди всех фигур данной постоянной ширины его площадь

${\displaystyle S_{\bigcirc }=a^{2}\cdot {{\pi } \over {4}}=a^{2}\cdot 0{,}78539\ldots }$

максимальна . Площадь соответствующего треугольника Рёло меньше на ≈10,27 %. В этих пределах лежат площади всех остальных фигур данной постоянной ширины.

Наименьший угол

Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая , а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине . Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° — это треугольник Рёло .

Наименьшая центральная симметрия

Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рёло обладает центральной симметрией в наименьшей степени . Существует несколько различных способов дать определение степени симметричности фигуры. Один из них — это мера Ковнера — Безиковича. В общем случае для выпуклой фигуры ${\displaystyle C}$ она равна

${\displaystyle \sigma (C)={{\mu (A)} \over {\mu (C)}},}$

где ${\displaystyle \mu }$ — площадь фигуры, ${\displaystyle A}$ — содержащаяся в ${\displaystyle C}$ центрально-симметричная выпуклая фигура максимальной площади. Для треугольника Рёло такой фигурой является шестиугольник с искривлёнными сторонами, представляющий собой пересечение этого треугольника Рёло со своим образом при центральной симметрии относительно своего центра . Мера Ковнера — Безиковича для треугольника Рёло равна

${\displaystyle \sigma ={{6\arccos {\left({{5+{\sqrt {33}}} \over {12}}\right)}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}}} \over {\pi -{\sqrt {3}}}}=0{,}84034\ldots }$

Другой способ — это мера Эстерманна

${\displaystyle \tau (C)={{\mu (C)} \over {\mu (B)}},}$

где ${\displaystyle B}$ — содержащая ${\displaystyle C}$ центрально-симметричная фигура минимальной площади. Для треугольника Рёло ${\displaystyle B}$ — это правильный шестиугольник , поэтому мера Эстерманна равна

${\displaystyle \tau ={{\pi -{\sqrt {3}}} \over {\sqrt {3}}}=0{,}81379\ldots }$

Для центрально-симметричных фигур меры Ковнера — Безиковича и Эстерманна равны единице. Среди фигур постоянной ширины центральной симметрией обладает только круг , который (вместе с треугольником Рёло) и ограничивает область возможных значений их симметричности.

Качение по квадрату

Любая фигура постоянной ширины вписана в квадрат со стороной, равной ширине фигуры, причём направление сторон квадрата может быть выбрано произвольно . Треугольник Рёло — не исключение, он вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон .

Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах — там вершина описывает дугу эллипса . Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата, а его больша́я и малая оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны

${\displaystyle a\cdot \left({\sqrt {3}}\pm 1\right),}$

где ${\displaystyle a}$ — ширина треугольника . Каждый из четырёх эллипсов касается двух смежных сторон квадрата на расстоянии

${\displaystyle a\cdot \left(1-{{\sqrt {3}} \over {2}}\right)=a\cdot 0{,}13397\ldots }$

от угла .

Центр треугольника Рёло при вращении движется по траектории, составленной из четырёх одинаковых дуг эллипсов. Центры этих эллипсов расположены в вершинах квадрата, а оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны

${\displaystyle a\cdot \left(1\pm {{1} \over {\sqrt {3}}}\right)}$ .

Иногда для механизмов, реализующих на практике такое вращение треугольника, в качестве траектории центра выбирают не склейку из четырёх дуг эллипсов, а близкую к ней окружность .

Площадь каждого из четырёх не затронутых вращением уголков равна

${\displaystyle \beta =a^{2}\cdot \left(1-{{\sqrt {3}} \over {2}}-{{\pi } \over {24}}\right)}$

и, вычитая их из площади квадрата, можно получить площадь фигуры, которую образует треугольник Рёло при вращении в нём

${\displaystyle a^{2}-4\beta =a^{2}\cdot \left(2{\sqrt {3}}+{{\pi } \over {6}}-3\right)=a^{2}\cdot 0{,}98770\ldots }$

Разница с площадью квадрата составляет ≈1,2 %, поэтому на основе треугольника Рёло создают свёрла , позволяющие получать почти квадратные отверстия .

Применение

Сверление квадратных в сечении к оси фрезы отверстий

Фреза с сечением в виде треугольника Рёло и режущими лезвиями, совпадающими с его вершинами, позволяет получать почти квадратные отверстия. Отличие таких отверстий от квадрата в сечении состоит лишь в немного скруглённых углах . Другая особенность подобной фрезы заключается в том, что его ось при вращении не должна оставаться на месте, как это происходит в случае традиционных спиральных свёрл, а описывает в плоскости сечения кривую, состоящую из четырёх дуг эллипсов . Поэтому патрон , в котором зажата фреза, и крепление инструмента не должно препятствовать этому движению .

Впервые реализовать подобную конструкцию крепления инструмента удалось Гарри Уаттсу, английскому инженеру, работавшему в США . Для этого он использовал направляющую пластину с отверстием в виде квадрата, в котором могло радиально перемещаться сверло, зажатое в «плавающем патроне» . Патенты на патрон и сверло были получены Уаттсом в 1917 году. Продажу новых дрелей осуществляла фирма . Ещё один патент США на похожее изобретение был выдан в 1978 году .

Двигатель Ванкеля

Другой пример использования можно найти в двигателе Ванкеля : ротор этого двигателя выполнен в виде треугольника Рёло . Он вращается внутри камеры, поверхность которой выполнена по эпитрохоиде . Вал ротора жёстко соединён с зубчатым колесом , которое сцеплено с неподвижной шестернёй . Такой трёхгранный ротор обкатывается вокруг шестерни, всё время касаясь вершинами внутренних стенок двигателя и образуя три области переменного объёма , каждая из которых по очереди является камерой сгорания . Благодаря этому двигатель выполняет три полных рабочих цикла за один оборот.

Двигатель Ванкеля позволяет осуществить любой четырёхтактный термодинамический цикл без применения механизма газораспределения . Смесеобразование, зажигание , смазка, охлаждение и пуск в нём принципиально такие же, как у обычных поршневых двигателей внутреннего сгорания .

Грейферный механизм

Ещё одно применение треугольника Рёло в механике — это грейферный механизм , осуществляющий покадровое перемещение плёнки в кинопроекторах . Грейфер проектора «Луч-2», например, основан на треугольнике Рёло, который вписан в рамку-квадрат, закреплённую на двойном параллелограмме . Вращаясь вокруг вала привода , треугольник двигает рамку с расположенным на ней зубом . Зуб входит в перфорацию киноплёнки, протаскивает её на один кадр вниз и выходит обратно, поднимаясь затем к началу цикла. Его траектория тем ближе к квадрату, чем ближе к вершине треугольника закреплён вал (идеально квадратная траектория позволила бы проецировать кадр в течение ¾ цикла) .

Существует и другая конструкция грейфера, также основанная на треугольнике Рёло. Как и в первом случае, рамка этого грейфера совершает возвратно-поступательное движение, однако её двигает не один, а два , работа которых синхронизирована с помощью зубчатой передачи .

Крышки для люков

В форме треугольника Рёло можно изготавливать крышки для люков — благодаря постоянной ширине они не могут провалиться в люк .

В Сан-Франциско , для системы корпуса люков имеют форму треугольника Рёло, но их крышки имеют форму равносторонних треугольников.

Кулачковый механизм

Треугольник Рёло использовался в кулачковых механизмах некоторых паровых двигателей начала XIX века . В этих механизмах вращательное движение кривошипа поворачивает треугольник Рёло, прикреплённый к толкателю передаточными рычагами, что заставляет толкатель совершать возвратно-поступательное движение . По терминологии Рёло , это соединение образует «высшую» кинематическую пару , поскольку контакт звеньев происходит по линии, а не по поверхности . В подобных кулачковых механизмах толкатель при достижении крайнего правого или левого положения остаётся некоторое конечное время неподвижен .

Треугольник Рёло ранее широко применялся в кулачковых механизмах швейных машин зигзагообразной строчки.

В качестве треугольник Рёло использовали немецкие часовые мастера в механизме наручных часов A. Lange & Söhne «Lange 31» .

Каток

Для перемещения тяжёлых предметов на небольшие расстояния можно использовать не только колёсные, но и более простые конструкции, например, цилиндрические катки . Для этого груз нужно расположить на плоской подставке, установленной на катках, а затем толкать его. По мере освобождения задних катков их необходимо переносить и класть спереди . Такой способ транспортировки человечество использовало до изобретения колеса .

При этом перемещении важно, чтобы груз не двигался вверх и вниз, так как тряска потребует дополнительных усилий от толкающего . Для того, чтобы движение по каткам было прямолинейным , их сечение должно представлять собой фигуру постоянной ширины . Чаще всего сечением был круг , ведь катками служили обыкновенные брёвна . Однако сечение в виде треугольника Рёло будет ничуть не хуже ^{[ прояснить ]} и позволит передвигать предметы столь же прямолинейно .

Несмотря на то, что катки в форме треугольника Рёло позволяют плавно перемещать предметы, такая форма не подходит для изготовления колёс, поскольку треугольник Рёло не имеет фиксированной оси вращения .

Плектр

Треугольник Рёло — распространённая форма плектра (медиатора): тонкой пластинки, предназначенной для игры на струнных щипковых музыкальных инструментах .

В дизайне

Треугольник Рёло используется как элемент логотипов компаний и организаций, например: FINA ( ) , Bavaria , .

В США система национальных троп и оформлены с помощью треугольников Рёло .

Форма центральной кнопки смартфона Samsung Corby представляет собой треугольник Рёло, вложенный в серебристое обрамление такой же формы. Центральная кнопка, по мнению экспертов, является главным элементом дизайна лицевой стороны Corby .

• 
  Bavaria
• 
• 
• 
• 
  Samsung Corby
• 
  Таблетка экстази

Треугольник Рёло в искусстве

Архитектура

Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку , однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко . Окна в форме треугольника Рёло можно обнаружить в церкви Богоматери в Брюгге , а также в шотландской церкви в Аделаиде . Как элемент орнамента он встречается на оконных решётках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне .

Треугольник Рёло используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием « » в сечении представляет собой именно эту фигуру .

Некоторые примеры использования

Окно церкви Богоматери в Брюгге	Окно собора Святого Сальватора в Брюгге	Окно собора Парижской Богоматери	« »
Окно церкви Святого Михаила в Люксембурге	Окно церкви Богоматери в Брюгге	Окно собора Святых Михаила и Гудулы в Брюсселе	Окно собора Святого Бавона в Генте

Форма и цвет

Согласно форкурсу Иоганнеса Иттена , в «идеальной» модели соответствий часть спектра каждого цвета пребывает в таковом — с формой (геометрической фигурой). Зелёный цвет является «производным»: результатом смешения прозрачно-синего и светло-жёлтого (без включения ахроматических ), а поскольку в этой модели им соответствуют круг и правильный треугольник, именно фигура, называемая И. Иттеном сферическим треугольником, — треугольник Рёло, и соответствует зелёному.

Литература

В научно-фантастическом рассказе Пола Андерсона «Треугольное колесо» экипаж землян совершил аварийную посадку на планете, население которой не использовало колёса , так как всё круглое находилось под религиозным запретом. В сотнях километров от места посадки предыдущая земная экспедиция оставила склад с запасными частями, но перенести оттуда необходимый для корабля двухтонный атомный генератор без каких-либо механизмов было невозможно. В итоге землянам удалось соблюсти табу и перевезти генератор, используя катки с сечением в виде треугольника Рёло.

Вариации и обобщения

Многоугольник Рёло

Лежащую в основе треугольника Рёло идею построения можно обобщить, используя для создания кривой постоянной ширины не равносторонний треугольник , а звёздчатый многоугольник , образованный отрезками прямых равной длины . Если из каждой вершины звёздчатого многоугольника провести дугу окружности , которая соединит две смежные ей вершины, то полученная замкнутая кривая постоянной ширины будет состоять из конечного числа дуг одного и того же радиуса . Такие кривые (а также ограничиваемые ими фигуры) называются многоугольниками Рёло .

Семейство многоугольников Рёло определённой ширины ${\displaystyle a}$ образует всюду плотное подмножество во множестве всех кривых постоянной ширины ${\displaystyle a}$ (с метрикой Хаусдорфа ) . Иными словами, с их помощью можно сколь угодно точно приблизить любую кривую постоянной ширины .

Среди многоугольников Рёло выделяют класс кривых, построенных на основе правильных звёздчатых многоугольников. Этот класс носит название правильных многоугольников Рёло . Все дуги, из которых составлен подобный многоугольник, имеют не только одинаковый радиус, но и одинаковую длину . Треугольник Рёло, например, является правильным. Среди всех многоугольников Рёло с фиксированным числом сторон и одинаковой шириной правильные многоугольники ограничивают наибольшую площадь .

Форма таких многоугольников используется в монетном деле : монеты ряда стран (в частности, 20 и 50 пенсов Великобритании ) выполнены в виде правильного семиугольника Рёло. Существует изготовленный китайским офицером велосипед , колёса которого имеют форму правильных треугольника и пятиугольника Рёло .

Трёхмерные аналоги

Трёхмерным аналогом треугольника Рёло как пересечения трёх кругов является тетраэдр Рёло — пересечение четырёх одинаковых шаров , центры которых расположены в вершинах правильного тетраэдра , а радиусы равны стороне этого тетраэдра. Однако тетраэдр Рёло не является телом постоянной ширины : расстояние между серединами противоположных граничных криволинейных рёбер, соединяющих его вершины, в

${\displaystyle {\sqrt {3}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}=1{,}02494\ldots }$

раз больше, чем ребро исходного правильного тетраэдра .

Тем не менее, тетраэдр Рёло можно видоизменить так, чтобы получившееся тело оказалось телом постоянной ширины. Для этого в каждой из трёх пар противоположных криволинейных рёбер одно ребро определённым образом «сглаживается» . Получающиеся таким способом два различных тела (три ребра, на которых происходят замены, могут быть взяты либо исходящими из одной вершины, либо образующими треугольник ) называются телами Мейсснера , или тетраэдрами Мейсснера . Сформулированная и Вернером Фенхелем в 1934 году гипотеза утверждает, что именно эти тела минимизируют объём среди всех тел заданной постоянной ширины, однако (по состоянию на 2011 год) эта гипотеза не доказана .

Наконец, тело вращения , получаемое при вращении треугольника Рёло вокруг одной из его осей симметрии второго порядка, — тело постоянной ширины. Оно имеет наименьший объём среди всех тел вращения постоянной ширины .

Комментарии

Примечания

Литература

На русском языке

• Радемахер Г., Тёплиц О. Кривые постоянной ширины // / Пер. с нем. В. И. Контовта. — М. : Физматгиз , 1962. — С. 195—211. — 263 с. — («Библиотека математического кружка», выпуск 10). — 40 000 экз.
• Яглом И. М. , Болтянский В. Г. Фигуры постоянной ширины // . — М. — Л. : ГТТИ , 1951. — С. 90—105. — 343 с. — («Библиотека математического кружка», выпуск 4). — 25 000 экз.

На английском языке

• Eggleston H. G. Sets of Constant Width // Convexity. — London : Cambridge University Press, 1958. — P. 122—131. — 136 p. — (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 47). — ISBN 0-5210-7734-6 .
• Gardner M. Curves of Constant Width // The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. — Chicago ; London : University of Chicago Press, 1991. — P. 212—221. — 264 p. — ISBN 978-0-2262-8256-5 .
• Gleißner W., Zeitler H. // Results in Mathematics. — 2000. — Vol. 37, № 3—4 . — P. 335—344. — ISSN . 4 декабря 2007 года.
• Moon F. C. Curves of Constant Breadth // The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century. — Dordrecht : Springer , 2007. — P. 239—241. — 451 p. — (History of Mechanism and Machine Science, Vol. 2). — ISBN 978-1-4020-5598-0 .
• Peterson I. Rolling with Reuleaux // Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. — Washington D.C. : Mathematical Association of America , 2002. — P. 141—144. — 180 p. — (Spectrum Series). — ISBN 0-8838-5537-2 .
• Reuleaux F. Pairs of Elements // / Tr. and ed. by . — London : Macmillan and Co, 1876. — P. 86—168. — 622 p.
• Smith S. // Mathematics Teacher. — Reston : National Council of Teachers of Mathematics, 1993. — Vol. 86, № 7 . — P. 579—583. — ISSN . 4 апреля 2005 года.

Ссылки

• Ролики серии « Математические этюды », посвящённые треугольнику Рёло:
  • « »
  • « »
  • « 22 июня 2013 года. »
• Bogomolny A. (англ.) . Cut the Knot . Дата обращения: 11 октября 2011. 10 мая 2012 года.
• Eppstein D. (англ.) . Geometry Junkyard . Дата обращения: 11 октября 2011. 10 мая 2012 года.
• Kunkel P. (англ.) . Whistler Alley Mathematics . Дата обращения: 11 октября 2011. 10 мая 2012 года.
• Peterson I. (англ.) . Ivars Peterson’s MathLand . Mathematical Association of America . Дата обращения: 11 октября 2011. Архивировано из 22 июня 2013 года.
• Taimina D. , Henderson D. W. (англ.) . Kinematic Models for Design Digital Library . Cornell University . Дата обращения: 11 октября 2011. 10 мая 2012 года.