Ряд ( бесконе́чная су́мма ) в математике — одно из центральных понятий математического анализа , математическая концепция, представляющая собой сумму бесконечного числа слагаемых, упорядоченных в определённой последовательности. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел :

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad }$ Краткая запись: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

(иногда нумерацию слагаемых начинают не с 1, а с нуля).

Слагаемые ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$ тогда представляют собой последовательность вещественных или комплексных чисел . Обрывая бесконечный ряд на ${\displaystyle n}$ -м члене, получаем частичные суммы :

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}.}$

Если для последовательности частичных сумм определён конечный предел : ${\displaystyle S=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n},}$ то значение ${\displaystyle S}$ называется суммой данного ряда, а сам ряд называется сходящимся (в противном случае — расходящимся ) .

При более общем подходе ряд понимается как последовательность элементов ( членов данного ряда ) ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots }$ некоторого топологического векторного пространства , рассматриваемая вместе с множеством частичных сумм членов ряда (частичные суммы определяются так же, как и в числовых рядах) . Например, если в качестве элементов ряда используются функции , то говорят о функциональных рядах .

Числовые ряды и их обобщения используются повсеместно в математическом анализе для вычислений, анализа поведения разнообразных функций, в частности при решении алгебраических или дифференциальных уравнений . Разложение функции в ряд можно рассматривать как обобщение задания вектора координатами , эта операция позволяет свести исследование сложной функции к анализу элементарных функций и облегчает численные расчёты .

Ряды — незаменимый инструмент исследования не только в математике, но и в физике, информатике, статистике и других науках . Широкое использование аппарата рядов характерно, например, для небесной механики , оптики , теории упругости , теории теплопроводности (именно для этого раздела физика были первоначально разработаны ряды Фурье ), в теории электромагнетизма , в ядерной физике , в экономике .

Эпизодическое использование бесконечных рядов (в основном прогрессий) отмечается с античных времён. Основы систематической теории разложения функций в ряды разработал Ньютон в конце XVII века, для него она стала основным инструментом работы с неэлементарными и неявно заданными функциями. С помощью рядов Ньютон выполнял, в частности, интегрирование функций и решение дифференциальных уравнений . В дальнейшем большой вклад в тематику внесли Эйлер , Коши , Фурье и другие математики .

Числовые ряды

Сходимость и сумма ряда

Чтобы присвоить числовому ряду:

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad }$

значение суммы, необходимо рассмотреть последовательность « частичных сумм », которые получаются, если оборвать бесконечную сумму на каком-то члене:

${\displaystyle S_{1}=a_{1}}$

${\displaystyle S_{2}=a_{1}+a_{2}}$

${\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}}$

${\displaystyle \cdots }$

Если последовательность частичных сумм имеет предел ${\displaystyle S}$ (конечный или бесконечный), то говорят, что сумма ряда равна ${\displaystyle S.}$ При этом, если предел конечен, то говорят, что ряд сходится . Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится .

Для выяснения ключевого в анализе вопроса, сходится или нет заданный ряд, предложены многочисленные признаки сходимости .

Примеры

Простейшим примером сходящегося ряда является сумма членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем ${\displaystyle |q|<1}$ :

${\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\dots }$

Частичная сумма ${\displaystyle S_{n}=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$ Предел этого выражения ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-q}},}$ это и есть сумма бесконечной геометрической прогрессии . Например, при ${\displaystyle a=1,q={\frac {1}{2}}}$ получается ряд, сумма которого равна 2:

${\displaystyle 2=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dots }$

Десятичную дробь с бесконечной дробной частью можно рассматривать как сумму ряда ; например, число ${\displaystyle \pi =3{,}1415926\dots }$ есть сумма следующего ряда:

${\displaystyle 3+{\frac {1}{10^{1}}}+{\frac {4}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+{\frac {5}{10^{4}}}+{\frac {9}{10^{5}}}+\dots }$

Более сложным примером является ряд обратных квадратов , сумму которого лучшие математики Европы не могли найти более 100 лет :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Ряд ${\displaystyle 1+1+1+\dots }$ расходится, сумма его бесконечна. Расходится и гармонический ряд : ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}={\infty }.}$ « Ряд Гранди » ${\displaystyle 1-1+1-1+1-1\dots }$ расходится, его частичные суммы колеблются от 1 до 0, поэтому предела частичных сумм не существует, суммы у этого ряда нет .

Классификация

Положительный ряд — вещественный ряд, все члены которого неотрицательны. У положительных рядов сумма всегда существует, но может быть бесконечна .

Знакочередующийся ряд — вещественный ряд, в котором знаки членов чередуются: плюс, минус, плюс, минус и т. д. Для таких рядов существует простой признак сходимости Лейбница . Знакочередующийся вариант приведенного выше гармонического ряда , в отличие от последнего, сходится :

${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)}$

Абсолютная и условная сходимость

Говорят, что вещественный или комплексный ряд сходится абсолютно , если сходится ряд из модулей ( абсолютных величин ) его членов :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$

Абсолютно сходящийся ряд сходится и в обычном смысле этого понятия. При этом всякий такой ряд обладает важным свойством переместительности: при любой перестановке членов абсолютно сходящегося ряда получается сходящийся ряд с той же суммой . В частности, у положительных сходящихся рядов можно как угодно переставлять члены ряда, на сходимость и на сумму это не влияет .

Если числовой ряд сходится, но не абсолютно, он называется условно сходящимся . Пример:

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\dots }$ Сам ряд сходится, но ряд его абсолютных величин ( гармонический ряд ) расходится .

Свойства условно сходящихся рядов .

• Если ряд сходится условно , то как ряд из его положительных членов, так и ряд из его отрицательных членов расходятся.
  • Следствие (критерий абсолютной сходимости): ряд из вещественных чисел сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся как ряд из положительных его членов, так и ряд из отрицательных членов.
• ( теорема Римана ): Перестановкой членов условно-сходящегося ряда можно получить ряд с любой заданной вещественной суммой.

Операции над рядами

Пусть заданы сходящиеся ряды ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ и ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ . Тогда:

• Их суммой называется ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n}),}$ разностью — ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-b_{n}).}$

Если оба ряда сходятся к ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ соответственно, то их сумма и разность также сходятся. Сумма сходящегося и расходящегося рядов всегда расходится :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=S_{1}+S_{2};\quad \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-b_{n})=S_{1}-S_{2}}$ ,

Если оба ряда сходятся абсолютно, то сумма и разность этих рядов также сходятся абсолютно .

• Их называется ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}}$ , где:

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1}=a_{1}b_{1}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})+(a_{1}b_{3}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{1})+\dots +(a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\dots +a_{n}b_{1})}$

Если хотя бы один из исходных рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится .

Необходимый признак сходимости числового ряда

Ряд ${\displaystyle {a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+\ldots +{a}_{n}+\ldots }$ может сходиться лишь в том случае, когда член ${\displaystyle {a}_{n}}$ (общий член ряда) с возрастанием его номера стремится к нулю :

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{a}_{n}=0.}$

Это необходимый признак сходимости ряда, но он не является достаточным — у гармонического ряда , например, общий член с ростом номера неограниченно уменьшается, тем не менее ряд расходится. Если же общий член ряда не стремится к нулю, то ряд заведомо расходится .

Сходящиеся ряды

Свойство 1. Если ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}={a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}+\ldots }$ (1.1)

сходится и его сумма равна ${\displaystyle S}$ , то ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c{a}_{n}=c{a}_{1}+c{a}_{2}+c{a}_{3}+c{a}_{4}+\ldots }$ (1.2)

где ${\displaystyle c}$ — произвольное число, также сходится и его сумма равна ${\displaystyle cS}$ . Если же ряд (1.1) расходится и ${\displaystyle c\neq 0}$ , то ряд (1.2) расходится.

Свойство 2 ( ассоциативный закон ). В сходящемся ряде можно произвольно объединять соседние члены в группы без нарушения их порядка .

Этим свойством можно воспользоваться для доказательства расходимости ряда: если после указанной группировки получается расходящийся ряд, то и исходный ряд также расходится.

Нерешённые проблемы

До сих пор неизвестно, сходится ли «ряд Флинт Хиллз» ( Flint Hills Series ) :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {cosec} ^{2}(n)}{n^{3}}}}$

Если удастся доказать, что этот ряд сходится, то как следствие получится важный факт: мера иррациональности числа ${\displaystyle \pi }$ меньше, чем 2,5.

Известно, что сумма ряда обратных квадратов и суммы других рядов с обратными чётными степенями выражаются через степени числа ${\displaystyle \pi ,}$ но мало что известно про сумму обратных кубов (« константу Апери »):

${\displaystyle {\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dots \approx 1{,}2020569}$ .

Никто пока не сумел связать это значение с классическими константами или элементарными функциями .

Ряды с нечисловыми членами

Понятие бесконечного ряда и его суммы можно ввести не только для чисел, но и для других математических объектов , для которых определены сложение и понятие близости, позволяющее определить предел. При таком подходе ряд понимается как последовательность элементов ( членов данного ряда ) ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots }$ некоторого топологического векторного пространства , рассматриваемая вместе с множеством частичных сумм членов ряда (частичные суммы определяются так же, как и в числовых рядах) .

Например, в анализе широко используются ряды из функций : степенные ряды , ряды Фурье , ряды Лорана . Членами ряда могут быть также векторы , матрицы и др. Такие ряды всегда можно почленно складывать или вычитать, причём сумма и разность сходящихся рядов также сходятся. Если члены рядов берутся из кольца или поля , то ряды сами образуют кольцо относительно сложения и .

Функциональные ряды

Определение и свойства

Ряд называется функциональным , если все его члены — функции , определённые на некотором множестве :

${\displaystyle a_{1}(x)+a_{2}(x)+a_{3}(x)+\ldots +a_{n}(x)+\ldots ;\quad }$ краткая запись: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x)}$

Частичные суммы в этом случае также являются функциями, заданными на том же множестве. Ряд называется сходящимся на множестве ${\displaystyle X}$ , если при любом фиксированном ${\displaystyle x_{0}\in X}$ сходится числовой ряд :

${\displaystyle a_{1}(x_{0})+a_{2}(x_{0})+a_{3}(x_{0})+\ldots +a_{n}(x_{0})+\ldots }$

Множество ${\displaystyle X}$ называется областью сходимости ряда . Сумма ряда, очевидно, также является функцией на ${\displaystyle X.}$

Пример — разложение в ряд рациональной дроби:

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots }$

Этот ряд сходится в интервале ${\displaystyle (-1;\;1)}$ .

Среди основных типов функциональных рядов :

• степенные ряды (в частности, ряды Тейлора );
• тригонометрические ряды ; в частности, ряды Фурье ;
• ряды Лорана .

Кроме определённой выше «поточечной» сходимости, в разных пространствах могут быть использованы и другие нормы близости , от которых зависит существование предела частичных сумм. Например, можно определить «чебышёвскую норму» .

Равномерная сходимость

Вообще говоря, свойства суммы могут отличаться от свойств членов ряда — например, сумма ряда непрерывных функций может не быть непрерывной .

Говорят, что сходящийся на множестве ${\displaystyle X}$ функциональный ряд равномерно сходится (на этом множестве) , если последовательность частичных сумм ряда равномерно сходится на ${\displaystyle X}$ .

Существуют несколько признаков, позволяющих убедиться в равномерной сходимости ряда :

• Признак Вейерштрасса
• Признак Абеля
• Признак Дирихле

Важность понятия равномерной сходимости ряда показывают следующие теоремы (все функции считаются вещественными).

• Сумма ряда из функций, непрерывных в некоторой точке ${\displaystyle x_{0}}$ , будет и сама непрерывна в этой точке при условии, что функциональный ряд в точке ${\displaystyle x_{0}}$ сходится равномерно. В частности, сумма равномерно сходящегося ряда вещественных функций, непрерывных на отрезке ${\displaystyle [a,b],}$ также будет непрерывна на этом отрезке .
• Если функции ${\displaystyle f_{n}(x)}$ непрерывно дифференцируемы на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и оба ряда:

${\displaystyle f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\dots }$

${\displaystyle {\frac {df_{1}(x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{dx}}+\dots }$

сходятся на ${\displaystyle [a,b]}$ , причём ряд производных сходится равномерно, то сумма ряда имеет производную, и дифференцировать ряд можно почленно :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\dots )={\frac {df_{1}(x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{dx}}+\dots }$

• Если функции ${\displaystyle f_{n}(x)}$ непрерывны на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и ряд ${\displaystyle f_{1}(x)+f_{2}(x)+\dots }$ сходится на ${\displaystyle [a,b]}$ равномерно к функции ${\displaystyle F(x),}$ то интегрировать ряд можно почленно :

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}F(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{f_{n}}(x)dx}$

Условие равномерной сходимости гарантирует, что ряд справа сходится.

• Если функции ${\displaystyle f_{n}(x)}$ интегрируемы по Риману на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и ряд ${\displaystyle f_{1}(x)+f_{2}(x)+\dots }$ сходится на ${\displaystyle [a,b]}$ равномерно к функции ${\displaystyle F(x),}$ то сумма ряда также будет интегрируема по Риману .

Пример неравномерно сходящегося степенного ряда — геометрическая прогрессия ${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\dots }$ В промежутке ${\displaystyle [0,1)}$ она сходится к функции ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}},}$ но не равномерно (о чём свидетельствует бесконечный скачок суммы при приближении к 1) .

Ряды матриц

В кольце числовых квадратных матриц фиксированного порядка ${\displaystyle n}$ назовём ${\displaystyle \varepsilon }$ -окрестностью матрицы ${\displaystyle A}$ множество матриц, все компоненты которых отличаются от соответствующих компонент ${\displaystyle A}$ меньше, чем на ${\displaystyle \varepsilon .}$ Опираясь на такую топологию , предел последовательности матриц определяется покомпонентно , то есть матрица ${\displaystyle L}$ является пределом последовательности матриц ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}\dots }$ , если каждая её компонента ${\displaystyle L_{ik}}$ является пределом соответствующей последовательности ${\displaystyle A_{ik}.}$

Теперь можно определить по общим правилам ряды из числовых матриц, понятие сходимости ряда (в том числе абсолютной сходимости) и суммы сходящегося ряда. Другими словами, ряд матриц порядка ${\displaystyle n}$ сходится, если сходятся ${\displaystyle n^{2}}$ рядов его компонент, и суммой будет матрица, содержащая соответствующие пределы этих рядов .

Степенной ряд для матриц имеет вид :

${\displaystyle a_{0}I+a_{1}X+a_{2}X^{2}+a_{3}X^{3}+\dots ,}$

где ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$ — заданные числовые коэффициенты, ${\displaystyle I}$ — единичная матрица , ${\displaystyle X}$ — матрица неизвестных. Этот ряд равносилен системе из ${\displaystyle n^{2}}$ числовых рядов. Для оценки его сходимости составим обычный степенной ряд из комплексных чисел:

${\displaystyle a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\dots }$

Пусть радиус сходимости этого ряда равен ${\displaystyle R.}$ Тогда верны следующие теоремы :

• Матричный степенной ряд абсолютно сходится для всех матриц, находящихся в ${\displaystyle \varepsilon }$ - окрестности нулевой матрицы , где ${\displaystyle \varepsilon =R/n.}$
• Если матричный степенной ряд сходится в области ${\displaystyle |X|<P,}$ где ${\displaystyle P}$ — матрица с положительными компонентами, ${\displaystyle |X|}$ — матрица модулей неизвестных, то он в этой области сходится абсолютно.

Пример степенного ряда из матриц см. в статье Экспонента матрицы . С помощью рядов можно определить стандартные функции для квадратных матриц (например, синус ).

Вариации и обобщения

Обобщением понятия ряда является понятие двойного ряда , члены которого нумеруются не одним, а двумя индексами .

Обобщением понятия суммы ряда является понятие суммирующей функции ряда , выбор которой делает понятие суммы расходящегося (в классическом смысле) ряда приемлемым. Предложено множество вариантов такого обобщения: сходимость по Пуассону — Абелю , Борелю , Чезаро , Эйлеру , Ламберту и другие .

История

Античный период

Античные математики , в соответствии с пифагорейской идеологией , отвергали все актуально бесконечные понятия, в том числе и бесконечные ряды. Тем не менее некоторые ограниченные применения понятия ряда имели место. Например, Архимед для вычисления площади сегмента параболы фактически нашёл сумму бесконечной геометрической прогрессии :

${\displaystyle 1+{\frac {1}{4^{1}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={4 \over 3}}$

Ван дер Варден пишет об этом: «Архимед не говорит о сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, ему ещё не известно выражение „сумма бесконечного ряда“, однако он прекрасно владеет сущностью этого понятия». В нескольких решённых Архимедом задачах на вычисление площади или объёма он использует, в современной терминологии, верхние и нижние интегральные суммы с неограниченно возрастающим числом членов. Из-за отсутствия понятия предела для обоснования результата использовался громоздкий метод исчерпывания .

Керальская школа

Математики Индии , не связанные пифагорейскими ограничениями, существенно продвинули теорию рядов и успешно её применяли. Наибольшего успеха в XV—XVI веках добилась Керальская школа астрономии и математики (южная Индия). Для астрономических вычислений керальцы смогли впервые в истории найти разложение тригонометрических и иных функций в бесконечные ряды :

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

Общей теории таких разложений у них, впрочем, не было, для получения этих формул было проведено спрямление дуги окружности .

Из ряда для арктангенса керальцы получили хорошее приближение для числа ${\displaystyle \pi }$ с десятью знаками : ${\displaystyle 3{,}141592653.}$

В Европе достижения керальской школы долгое время оставались неизвестными и были переоткрыты независимо. Ряд для арктангенса впервые опубликовал Джеймс Грегори в 1671 году, а ряды для синуса и косинуса — Исаак Ньютон в 1666 году .

XVII век

До примерно XVII века бесконечные ряды в трудах европейских математиков появлялись редко. Заслуживает упоминания труд английского математика XIV века Ричарда Суайнсхеда , который просуммировал ряд :

${\displaystyle {\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {2}{2^{2}}}+{\frac {3}{2^{3}}}+{\frac {4}{2^{4}}}+{\frac {5}{2^{5}}}+...=2.}$

В XVII веке бесконечные ряды уже вызывают общий интерес и начинают использоваться при решении многих практических задач — приближённые вычисления , интерполирование , теория логарифмов и др.

В 1647 году Грегуар де Сен-Венсан обнаружил связь логарифма и площади под гиперболой (см. рисунок). В 1650 году, исходя из геометрических соображений, итальянский математик Пьетро Менголи опубликовал в трактате « Новые арифметические квадратуры » разложение ${\displaystyle \ln 2}$ в бесконечный ряд :

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}\dots }$

Менголи исследовал также другие ряды и доказал, что гармонический ряд расходится; Он также показал, что ряд обратных квадратов сходится, хотя не смог найти его сумму .

В 1668 году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман), проживавший тогда в Лондоне, в трактате « Logarithmotechnia » впервые рассмотрел разложение в ряд не числа, а функции, тем самым положив начало теории степенных рядов :

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

Как универсальный инструмент исследования функций и численных расчётов бесконечные ряды использовали Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц , создатели математического анализа . Ещё в середине XVII века Ньютон и Грегори открыли биномиальное разложение для любого, не только целого показателя степени ${\displaystyle \alpha }$ (впервые опубликован в «Алгебре» Валлиса , 1685 год) :

${\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+...+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+...}$

Ряд сходится при ${\displaystyle |z|\leqslant 1.}$ С помощью этой формулы Ньютон сумел впервые выполнить вычисление дуги эллипса в виде ряда (в современной терминологии, он вычислил эллиптический интеграл ) . Ньютон также показал, как с помощью рядов решать уравнения, включая дифференциальные уравнения первого порядка, и исследовать интегралы, не выражающиеся через элементарные функции .

К концу XVII века стали известны разложения в ряды всех элементарных функций . Лейбниц и Грегори открыли (1674) первое в Европе разложение числа ${\displaystyle \pi }$ ( ряд Лейбница ) :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots }$

На рубеже веков (1689—1704) ученик Лейбница Якоб Бернулли опубликовал первую монографию в пяти томах под заголовком « Арифметические предложения о бесконечных рядах и их конечных суммах » ( Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ). Он показал применение рядов для решения самых разнообразных задач .

XVIII—XIX века

В 1715 году Брук Тейлор опубликовал фундаментальный ряд Тейлора (давно известный, впрочем, Грегори и Ньютону) .

Огромный вклад в теорию рядов внёс Леонард Эйлер . Он первым сумел найти сумму ряда обратных квадратов , разработал методы улучшения сходимости рядов, начал исследование тригонометрических рядов , предложил понятие обобщённой суммы ряда, пригодное для расходящихся рядов. Само понятие « аналитической функции » было связано с возможностью её представления в виде степенного ряда .

В XIX веке Коши и Вейерштрасс построили строгие основания анализа и, в частности, строгую теорию рядов. Было введено важное понятие равномерной сходимости , сформулированы разнообразные признаки сходимости .

Бурное развитие получили теория тригонометрических рядов . Ещё Даниил Бернулли высказал убеждение, что любую (непрерывную) функцию на заданном промежутке можно представить тригонометрическим рядом . Дискуссии на эту тему продолжались до 1807 года, когда Фурье опубликовал теорию представления произвольных кусочно-аналитических функций тригонометрическими рядами (окончательный вариант содержится в его «Аналитической теории тепла», 1822). Для разложения функции ${\displaystyle f(x)}$ в ряд ${\displaystyle f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos {nx}+b_{n}\sin {nx})}$ Фурье привёл интегральные формулы расчёта коэффициентов. Изложение Фурье не было строгим в современном понимании, но уже содержало исследование сходимости большинства полученных им рядов . В 1868 году Бернхард Риман использовал ряды для строгого определения определённого интеграла .

Одновременно широкое развитие и применение в XIX веке получили ряды в комплексном анализе , в том числе ряды Лорана .

В XX веке понятие ряда было распространено на широкий класс математических объектов , не обязательно числовых, в том числе векторы и квадратные матрицы .

Примечания

Литература

• Виленкин Н. Я. , Цукерман В. В., Доброхотова М. А., Сафонов А. Н. Ряды. — М. : Просвещение, 1982. — 160 с.
• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — 4-е изд. — М. : Наука, 1979. — 408 с.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд.. — М. : Наука, 1977. — 872 с.
• Зорич В. А. . Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М. : Наука, 1981. — С. 104—114. — 544 с.
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. I.
• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. II.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1972. — Т. III.
• Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций / Под ред. Колмогорова А. Н. , Юшкевича А. П. . — М. : Наука, 1981. — 270 с.
• Письменный Д. Т. Часть 2 // Конспект лекций по высшей математике. — 6-е изд. — М. : Айрис-пресс, 2008.
• Ряд // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1984. — Т. 4. — С. 1063—1070.
• Ряд // Математический энциклопедический словарь. — М. : Советская энциклопедия, 1988. — С. 533—537. — 847 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — 6-е изд.. — М. : Наука, 1966. — Т. 2. — 680 с.

Ссылки

• / Кудрявцев Л. Д. , Юшкевич А. П. // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов . — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Савельева Р. Ю. .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .