Interested Article - Пентагональный икоситетраэдр

Пентагона́льный икоситетра́эдр (от др.-греч. πέντε — «пять», γωνία — «угол», εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный курносому кубу . Составлен из 24 одинаковых неправильных пятиугольников .

Имеет 38 вершин. В 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра ) сходятся по 4 грани своими острыми углами; в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба ) сходятся по 3 грани теми тупыми углами, которые дальше от острого; в остальных 24 вершинах две грани сходятся своими тупыми углами, ближними к острому, и одна — тупым углом, дальним от острого.

У пентагонального икоситетраэдра 60 рёбер — 24 «длинных» и 36 «коротких».

В отличие от большинства других каталановых тел, пентагональный икоситетраэдр (наряду с пентагональным гексеконтаэдром ) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».

Метрические характеристики и углы

При определении метрических свойств пентагонального икоситетраэдра приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных каталановых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней . Поэтому пентагональный икоситетраэдр, в отличие от большинства других каталановых тел, не допускает евклидова построения . То же верно и для пентагонального гексеконтаэдра, а также для двойственных им архимедовых тел.

Как и для курносого куба, при описании метрических свойств и углов пентагонального икоситетраэдра важную роль играет константа трибоначчи :

Грань пентагонального икоситетраэдра

Если три «коротких» стороны грани имеют длину , то две «длинных» стороны имеют длину

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах ) при этом будет равен

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

радиус окружности, вписанной в грань —

диагональ грани, параллельная одной из «коротких» сторон —

Описать около пентагонального икоситетраэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Все четыре тупых угла грани равны острый угол грани (между «длинными» сторонами) равен

Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Источник —

Same as Пентагональный икоситетраэдр