Визуализации икосаэдра

Перспектива	Развёртка	Ортогональная
	Диаграмма Шлегеля	Вершинная фигура

Многоугольник Петри для правильного многогранника в размерности ${\displaystyle n}$ — это пространственный многоугольник , такой что любые ${\displaystyle (n-1)}$ последовательных ребра (но не ${\displaystyle n}$ ) принадлежат одной ${\displaystyle (n-1)}$ -мерной грани. В частности,

• Многоугольник Петри правильного многоугольника — это сам правильный многоугольник.
• Многоугольник Петри трёхмерного правильного многогранника — это пространственный многоугольник , такой, что любые две последовательные стороны (но не три) принадлежат одной из граней .

Для любого правильного многогранника существует ортогональная проекция на плоскость, при которой многоугольник Петри становится правильным многоугольником , содержащим внутри себя все остальные части проекции. При этом плоскость, на которую производится проекция, является группы симметрии многоугольника, а число сторон ${\displaystyle h}$ является числом Коксетера группы Коксетера . Эти многоугольники и спроецированные графы полезны для показа структур симметрии правильных многогранников большой размерности.

История

Джон Флиндерс Петри (1907—1972) был единственным сыном египтолога Флиндерса Петри . Он родился в 1907 и уже школьником показал замечательные математические способности. При полной концентрации он мог ответить на сложные вопросы о четырёхмерных объектах путём их визуализации .

Он первым обратил внимание на важность правильных пространственных многоугольников, которые возникают на поверхностях правильных многогранников. Коксетер в 1937 объяснил, как он и Петри начали расширять классическое понятие правильных многоугольников:

Однажды, в 1926, Дж. Ф. Петри сказал мне в большом возбуждении, что он обнаружил два новых правильных многогранника, бесконечных, но без ложных вершин. Когда мой скептицизм начал убывать, он мне их описал — один состоит из квадратов, по шесть в каждой вершине, а другой состоит из шестиугольников, по четыре на вершину .

В 1938 Петри, Коксетер, и Х. Т. Флазер выпустили книгу The Fifty-Nine Icosahedra ( Пятьдесят девять икосаэдров ) . Понимая важность пространственных многогранников, использованных Петри, Коксетер назвал их именем своего друга, когда писал книгу ( Правильные многогранники ).

В 1972, через несколько месяцев после выхода на пенсию, Петри погиб, когда пытался перебежать шоссе рядом со своим домом в графстве Суррей .

Идея многоугольников Петри была позднее распространена на полуправильные многогранники .

Многоугольники Петри правильных трёхмерных многогранников

Многоугольник Петри правильного многогранника, имеющего символ Шлефли ${\displaystyle \{p,q\}}$ , имеет ${\displaystyle h}$ сторон, где

${\displaystyle cos^{2}(\pi /h)=cos^{2}(\pi /p)+cos^{2}(\pi /q)}$ .

Многоугольники Петри двойственных правильных многогранников ${\displaystyle \{p,q\}}$ и ${\displaystyle \{q,p\}}$ имеют подобные проекции.

Многоугольники Петри для правильных многогранников (красные многоугольники)

тетраэдр	куб	октаэдр	додекаэдр	икосаэдр
центрирован пр рёбрам	центрирован по вершинам	центрирован по граням	центрирован по граням	центрирован по вершинам
4 стороны	6 сторон	6 сторон	10 сторон	10 сторон
${\displaystyle V:(4,0)}$	${\displaystyle V:(6,2)}$	${\displaystyle V:(6,0)}$	${\displaystyle V:(10,10,0)}$	${\displaystyle V:(10,2)}$
Многоугольники Петри являются внешними границами этих ортогональных проекций. Синим выделены «передние» рёбра, а серым цветом показаны задние рёбра. Концентрические кольца вершин вершин отсчитываются снаружи внутрь с обозначением: ${\displaystyle V:(a,b,\dots )}$ , кончая нулём, если нет центральных вершин.

Бесконечные правильные пространственные многоугольники ( апейрогоны ) можно также определить как многоугольники Петри для правильных мозаик, имеющих углы 90, 120 и 60 градусов (для квадратных, шестиугольных и треугольных граней соответственно).

Бесконечные правильные пространственные многоугольники существуют также в качестве многоугольников Петри для правильных гиерболических мозаик, подобных {3,7}:

Многоугольники Петри правильных многогранников в четырёхмерном пространстве (4-многогранников)

Можно определить также многоугольники Петри правильных многогранников в четырёхмерном пространстве { p , q , r }.

{3,3,3} пятиячейник 5 сторон V :(5,0)	{3,3,4} шестнадцатиячейник 8 сторон V :(8,0)	{4,3,3} тессеракт 8 сторон V :(8,8,0)
{3,4,3} Двадцатичетырёхъячейник 12 сторон V :(12,6,6,0)	{5,3,3} Стодвадцатиячейник 30 сторон V :((30,60) 3 ,60 3 ,30,60,0)	{3,3,5} Шестисотячейник 30 сторон V:(30,30,30,30,0)

Проекции многоугольников правильных и однородных многогранников размерности 4 и выше

Проекции многоугольников Петри наиболее полезны для визуализации многогранников размерности 4 и выше. Таблица представляет многоугольники Петри трёх семейств правильных многогранников ( симплексы , гиперкубы , ортоплексы ) и исключительных простых групп Ли E _n , которые образуют полуправильные и однородные многогранники для размерностей от 4 до 8.

Таблица неприводимых семейств многогранников

Семейство n	n- симплекс	n- гиперкуб	n- ортоплекс	n- полукуб				пятиугольный многогранник
Группа	A n	BC n		I 2 (p) D n	E 6 E 7 E 8 F 4 G 2			H n
2	Треугольник	Квадрат		p-угольник (пример: p=7 )	Шестиугольник			Пятиугольник
3	Тетраэдр	Куб	Октаэдр	Тетраэдр				Додекаэдр	Икосаэдр
4	Пятиячейник	Тессеракт	Шестнадцати- ячейник	Полутессеракт	Двадцати- четырёхъячейник			Стодвадцатиячейник	Шестисотячейник
5	Гексатерон	Пентеракт	5-ортоплекс	5-полугиперкуб
	6-симплекс	6-куб	6-ортоплекс
	7-симплекс	7-куб
	8-симплекс	8-куб
	8-симплекс	9-куб
	10-симплекс	10-куб

Двойственный Петри

Для обсуждения двойственных многоугольников Петри введём понятие схема Неформально, схема P — это семейство многоугольников (которые могут быть бесконечноугольными), такое, что

• Любые два многоугольника имеют общее ребро или вершину, либо не пересекаются вовсе.
• Каждое ребро принадлежит ровно двум многоугольникам.
• Многоугольники, содержащие выбранную вершину, образуют один цикл смежных многоугольников (имеющих общие рёбра).
• Любые два многоугольника связаны цепочкой смежных многоугольников.

Схема P будет иметь группу автоморфизмов Γ ( P ) и P называется регулярной , если Γ ( P ) транзитивна на множестве F ( P ) флагов P . Если регулярная схема P имеет p-угольные грани и q-угольные вершинные фигуры, то говорят, что она имеет (Шлефли) тип {p, q}. Любой правильный многогранник или бесконечногранник порождает регулярную схему естественным образом.

Петри двойственный ( Петриал ) правильного многогранника — это регулярная схема, вершины и рёбра которой соответствуют вершинам и рёбрам исходного многогранника, а гранями являются множество многоугольников Петри. Эта схема обозначается как оператор π (в виде верхнего индекса) над правильным многогранником. Каждое ребро принадлежит двум граням (многоугольникам Петри) .

Петриал тетраэдра , {3,3} ^π , имеет 4 вершины, 6 рёбер и 3 квадратные грани (в виде пространственных квадратов, то есть вершины квадрата не лежат в одной плоскости). Имея эйлерову характеристику χ = 1, петриал топологически идентичен {4,3}/2.

Петриал куба , {4,3} ^π , имеет 8 вершин, 12 рёбер и 4 пространственных шестиугольника, показанных красным, зелёным, синим и оранжевым на рисунке. Он имеет эйлерову характеристику 0, и его можно рассматривать как четыре шестиугольные грани тороидальной шестиугольной мозаики {6,3} _(2,0) .

Петриал октаэдра , {3,4} ^π , имеет 6 вершин, 12 рёбер и 4 пространственных шестиугольных грани. Петриал имеет эйлерову характеристику −2, и имеет отображение в гиперболическую , {6,4} ₃ .

Петриал додекаэдра , {5,3} ^π , имеет 20 вершин, 30 рёбер и 6 граней в виде пространственных додекаэдров. Его эйлерова характеристика равна −4, и он связан с гиперболической мозаикой {10,3} ₅ .

Петриал икосаэдра , {3,6} ^π , имеет 12 вершин, 30 рёбер и 6 граней в виде пространственных додекаэдров. Его эйлерова характеристика равна −12, и он связан с гиперболической мозаикой {10,5} ₃ .

Правильные петриалы

Петриал тетраэдра {3,3} π = {4,3} 3 = {4,3}/2	Петриал куба {4,3} π = {6,3} 3 = {6,3} (2,0)	Петриал октаэдра {3,4} π = {6,4} 3	Петриал додекаэдра {5,3} π = {10,3} 5 .	Петриал икосаэдра {3,5} π = {10,5} 3 .
3 пространственных квадрата	4 пространственных шестиугольника		6 пространственных десятиугольников
{4,3} 3 =	{6,3} 3 = {6,3} (2,0)

Примечания

Литература

• H.S.M. Coxeter . 2.6 Petrie Polygons стр. 24-25, Chapter 12, стр. 213–235 The generalized Petrie polygon // . — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8 .
• H.S.M. Coxeter . Section 4.3 Flags and Orthoschemes, Section 11.3 Petrie polygons // Regular complex polytopes. — Cambridge, New York: Cambridge University Press, 1973. — ISBN 0-521-39490-2 .
• У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — Москва: «Мир», 1986. — С. 150.

• H.S.M. Coxeter . Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 978-0486-40919-8 .
• Peter McMullen, Egon Schulte. . — 1st. — Cambridge University Press , 2002. — ISBN 0-521-81496-0 .
• H.S.M. Coxeter . Proceedings of the London Mathematical Society. — 1937. — Т. 43. — С. 33-62.
• H.S.M. Coxeter . paper 13, Discrete groups generated by reflections, 1933, стр. 161 // Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6 .
• H.S.M. Coxeter . The Fifty-nine Icosahedra. — 1938. — С. 1–26. — ( University of Toronto studies, mathematical series 6).

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .