Парке́т или замощение — разбиение плоскости на многоугольники или пространства на многогранники без пробелов и наслоений.

Кроме паркетов на евклидовой плоскости , в математике рассматриваются «паркеты» на сфере , гиперболической плоскости , в трёхмерном и многомерном пространстве.

Терминология

Замощения, мозаики, паркеты, разбиения

Паркеты иначе называются замощениями , мозаиками ( англ. tessellation, tiling ), разбиениями плоскости ( англ. partition ), паркетажами . Замощения трёхмерного пространства и пространств высших размерностей часто называют со́тами .

На странице 16 книги Грюнбаума и «Tilings and Patterns» (1987) находится следующее примечание:

В математической литературе слова tessellation , paving , mosaic и parquetting используются как синонимы или со сходными значениями. Немецкие слова для мозаики — Pflasterung , Felderung , Teilung , Parkettierung и Zerlegung ; французские слова — pavage , carrelage и dallage ; русские слова — паркетаж , разбиение и замощение .

Оригинальный текст (англ.)

In mathematical literature, the words tessellation , paving , mosaic and parquetting are used synonymously or with similar meanings. The German words for tiling are Pflasterung , Felderung , Teilung , Parkettierung and Zerlegung . The French words are pavage , carrelage and dallage . The Russian words are паркетаж , разбиение and замощение .

Паркеты с областями (плитками) произвольной формы иногда называют картами (см., напр., теорема о четырёх красках ).

Покрытия и упаковки

Если объединение нескольких фигур содержит данную фигуру Ф , то говорят, что эти фигуры образуют покрытие фигуры Ф . При этом покрывающие фигуры могут перекрываться, но покрывают фигуру Ф без пробелов.

— это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных (т.е. без перекрытий).

Замощение — это разбиение фигуры на части. Замощение является одновременно покрытием и упаковкой .

Ромботришестиугольный паркет 3.4.6.4

Двойственный паркет V3.4.6.4

Протоплитки

Протоплитки паркета ( англ. prototiles , также прототипы ) — это плитки (формы), входящие в паркет. Каждая плитка паркета конгруэнтна одной из протоплиток .

Так, единственная протоплитка шестиугольного паркета — правильный шестиугольник; протоплиткой правильного сферического пятиугольного паркета является пентагон ; множество протоплиток ромботришестиугольного паркета состоит из равностороннего треугольника, квадрата и гексагона .

Паркет называется k -эдрическим, если множество его протоплиток ( протомножество ) состоит из k плиток .

Плитки паркета также называют гранями , а стороны многоугольных плиток — рёбрами , по аналогии с терминологией для многогранников .

3.4.4.6

3.4.6.4

Конфигурации вершин и граней

состоит из плиток трёх типов: равносторонний треугольник, квадрат и гексагон . Эти плитки располагаются вокруг каждой из вершин в следующем порядке: треугольник, квадрат, шестиугольник, квадрат. Такой порядок называется конфигурацией вершины паркета и записывается в форме 3.4.6.4. В случае, если два и более числа в этой последовательности идут подряд, используется сокращённая запись: треугольный паркет может быть обозначен как 3.3.3.3.3.3 или как 3 ⁶ . При этом записи, отличающиеся лишь циклической перестановкой чисел или изменением порядка записи на противоположный (например, 3.3.4.3.4 и 4.3.3.4.3), обозначают одну и ту же конфигурацию вершины; в то же время запись 3.4.4.6 не эквивалентна записи 3.4.6.4 .

В неоднородных паркетах могут встречаться вершины с разными конфигурациями.

Конфигурацией грани называется последовательность степеней вершин этой грани при обходе её в одном направлении. Конфигурация грани записывается последовательностью чисел в квадратных скобках или с префиксом V.

Если все вершины некоторого паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью a ₁ .a ₂ ....a _k , то все грани двойственного ему паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью Va ₁ .a ₂ ....a _k . Например, конфигурации граней (англ.) , записываются как V3.4.6.4.

Виды паркетов

Во многих случаях принимается условие эквивалентности каждой из протоплиток паркета ; иными словами, плитка не должна состоять из нескольких частей ( квазиполимино ), содержать «отверстия», быть и т.п. .

Паркеты на плоскости

Правильные паркеты

Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников, называют правильными паркетами ( англ. regular tilings ). Существует три правильных замощения плоскости: треугольный паркет , квадратный паркет и шестиугольный паркет .

• Правильные паркеты
• 
  Треугольный паркет
  3 ⁶
• 
  Квадратный паркет
  4 ⁴
• 
  Шестиугольный паркет
  6 ³

Правильные паркеты называют также платоновыми паркетами .

Полиформы , располагающиеся на правильных паркетах, называются соответственно полиамондами , полимино и полигексами .

Для обозначения паркета из правильных p -угольников, расположенных по q вокруг каждой вершины, применяется символ Шлефли { p , q }. Символы Шлефли трёх правильных мозаик — {3,6}, {4,4} и {6,3} .

Полуправильные паркеты

Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии (самосовмещение), переводящее одну из них в другую, называются полуправильными паркетами ( англ. semiregular tilings ) или архимедовыми паркетами .

Существует 8 полуправильных паркетов . Один из восьми полуправильных паркетов ( курносый тришестиугольный паркет ) является хиральным , то есть не совпадает с собственным зеркальным отражением .

• Полуправильные паркеты (Архимедовы паркеты)
• 
  Усечённый квадратный паркет
  4.8.8
• 
  Курносый квадратный паркет
  3.3.4.3.4
• 
  Тришестиугольный паркет
  3.6.3.6
• 
  
  3.12.12
• 
  
  3.4.6.4
• 
  
  4.6.12
• 
  
  3.3.3.4.4
• 
  Курносый тришестиугольный паркет (одна из двух зеркальных копий )
  3.3.3.3.6

Существует два определения, приводящих к одному и тому же набору из 8 полуправильных паркетов на плоскости.

Первое, «локальное» определение, заключается в том, что вершинные конфигурации всех вершин должны совпадать. Иными словами, последовательности граней вокруг любых двух вершин паркета должны быть одинаковыми: одни и те же многоугольники должны идти в одном и том же (или в противоположном) порядке.

Второе, «глобальное» определение, требует, чтобы для любых двух вершин паркета существовало преобразование симметрии (самосовмещение паркета), переводящее одну из них в другую.

Грюнбаум и Шепард разделяют термины «архимедов паркет» ( англ. Archimedean tiling ) и « однородный паркет » ( англ. uniform tiling ): к первой группе относятся паркеты, соответствующие «локальному» определению, а ко второй — «глобальному». Хотя на евклидовой плоскости два этих множества совпадают, в других пространствах существуют архимедовы паркеты, не являющиеся однородными .

В математической литературе значения терминов «архимедов паркет», «полуправильный паркет» и «однородный паркет» варьируются.

3.5.3.5

3.6.3.6

3.7.3.7

Квазиправильные паркеты

Квазиправильный паркет (или многогранник) ( англ. quasiregular tiling ) — однородный паркет (или многогранник), состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой вершины; иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа .

На евклидовой плоскости существует лишь один квазиправильный паркет — тришестиугольный паркет с вершинной конфигурацией 3.6.3.6. На сфере существует два квазиправильных паркета ( сферических многогранника ) — кубооктаэдр и икосододекаэдр .

На плоскости Лобачевского существует бесконечное множество квазиправильных паркетов вида ${\displaystyle p.q.p.q,}$ где ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}.}$

Неоднородные паркеты

Существует бесконечное множество неоднородных ( англ. non-uniform ) паркетов, состоящих из правильных многоугольников.

• Неоднородные паркеты из правильных многоугольников
• 
  3 ² .6 ² , 3 ⁶
• 
  3 ² .6 ² , 3.6.3.6
• 
  3 ² .4.12, 3 ⁶
• 
  3.4 ² .6, 3.6.3.6

Периодические неоднородные паркеты можно классифицировать по числу орбит вершин, рёбер и граней. Если число орбит вершин равно n , паркет называется n -однородным ( англ. n-uniform ) или n -изогональным; если число орбит рёбер равно n — n -изотоксальным ( англ. n -isotoxal ). Вышеприведённые примеры представляют собой четыре из двадцати 2-однородных паркетов .

Непериодические паркеты и апериодические множества плиток

Разбиение T называется периодическим , если среди симметрий T существуют два параллельных переноса в непараллельных направлениях. В этом случае мозаику можно считать состоящей из повторений небольшого фрагмента, выложенного из элементов в узлах некоторой решётки. Множество прототипов (протомножество) P называется апериодическим , если оно реализуется в каких-то разбиениях плоскости, но ни одно из этих разбиений не является периодическим .

Первый пример апериодического множества плиток был найден в 1966 году и включал в себя 20 426 плиток Вана . Плитки Вана представляют собой квадраты одного размера с окрашенными сторонами; при построении мозаики разрешено совмещать плитки лишь одноцветными сторонами и запрещено переворачивать плитки.

Позднее были найдены апериодические протомножества с ме́ньшим числом плиток. Роджер Пенроуз обнаружил апериодические протомножества, состоящие из двух плиток .

В 2010 году Джошуа Соколар и Джон Тэйлор предложили апериодическое множество, состоящее из , которая представляет собой правильный шестиугольник с нанесённой разметкой в виде цветных линий и с дополнительными ограничениями, связанными с взаимным расположением не касающихся друг друга плиток . Существует модификация, не использующая подобных ограничений, но использующая несвязную плитку, т.е., плитку, не являющуюся . Существование единственной связной плитки без дополнительной разметки и ограничений, способной покрыть плоскость только апериодически, остаётся открытой проблемой .

Шестиугольный диэдр

Шестигранный осоэдр

Сферические многогранники

Сферический паркет или сферический многогранник — разбиение сферы на дугами больших кругов .

Каждому из 5 платоновых тел соответствует правильный сферический паркет. Формально, пусть S — сфера с центром O , совпадающим с центром многогранника P . Проведённые из O лучи, проходящие через вершины многогранника P , пересекают сферу S в точках, являющихся вершинами соответствующего сферического паркета; рёбра многогранника P соответствуют дугам больших кругов на S .

Помимо сферических аналогов пяти «платоновых тел», существует два семейства правильных сферических многогранников, не имеющих эквивалентов среди многогранников с плоскими гранями: осоэдры — многогранники с двумя вершинами, находящимися на полюсах сферы, грани которых являются конгруэнтными двуугольниками , и диэдры — двойственные осоэдрам двугранники, вершины которых находятся на экваторе сферы.

Гиперболические паркеты

Аксиома параллельности Евклида (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её.

В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Для изображения гиперболической плоскости применяется одна из существующих моделей — модель Бельтрами — Клейна , конформный диск Пуанкаре , модель Пуанкаре на полуплоскости .

На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета и 8 полуправильных. На гиперболической плоскости существует бесконечное множество даже правильных паркетов, включая паркеты с семью и более равносторонними треугольниками вокруг вершины, пятью и более квадратами, четырьмя и более правильными пятиугольниками (паркет с тремя пятиугольниками вокруг вершины является сферическим додекаэдром ), четырьмя и более правильными шестиугольниками и тремя и более равными правильными многоугольниками с количеством сторон более 6.

Задачи на паркетах

Большое количество задач и головоломок связано с разбиением прямоугольников (или других связных фигур) на плитки из определённого заданного множества протоплиток. Сами протоплитки при этом могут представлять собой связные объединения ячеек правильного паркета .

В частности, существует класс задач на замощение прямоугольников m × n плитками домино таким образом, чтобы в полученном разбиении не было прямой линии, пересекающей прямоугольник от края до края и не пересекающей ни одной плитки домино; такие прямоугольники называются «прочными» .

В других задачах устанавливается дополнительное ограничение на количество плиток каждого вида, используемых в замощении. В задачах, связанных с пентамино , требуется покрыть 12 фигурами заданное подмножество квадратного паркета, состоящее из 60 клеток (прямоугольники 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10, шахматная доска с вырезанным в центре квадратным тетрамино и др.); при этом каждая плитка должна быть использована ровно один раз .

Перечисление паркетов

Задача определения количества паркетов, состоящих из выпуклых многоугольников заданного типа, решена лишь частично:

• Любым треугольником или четырёхугольником можно замостить плоскость .
• Известно 15 пятиугольников, способных замостить плоскость; неизвестно, является ли этот перечень полным . Проблема перечисления пятиугольных паркетов имеет богатую историю , и, возможно, уже решена .
• Известно 3 типа шестиугольников, способных замостить плоскость .
• Невозможно замостить плоскость одинаковыми выпуклыми многоугольниками с числом сторон, большим или равным семи .

См. также

• Диаграмма Вороного
• Триангуляция Делоне
• Мозаика Пенроуза
• Проблема четырёх красок
• Стереографическая проекция
• Замощение (компьютерная графика)

Примечания

Литература

• А. Н. Колмогоров . // Квант . — 1970. — № 3 .
• Ю. А. Шашкин. // МИФ. — 1998—99. — № 3 .
• О. Михайлов. // Квант . — 1979. — № 2 . 22 мая 2013 года.
• . Математический цветник. Сборник статей и задач = The Mathematical Gardner / Пер. с англ. Ю. А. Данилова ; под ред., с предисл. и прилож. И. М. Яглома . — М. : Мир, 1983. — С. 153—328. — 494 с.
• Г. С. М. Кокстер . Введение в геометрию = Introduction to geometry / Пер. с англ. А. Б. Катка и С. Б. Каток; под ред. Б. А. Розенфельда и И. М. Яглома. — М. : Наука, 1966. — 648 с.
• Grünbaum, Branko ; Shephard, G. C. Tilings and Patterns (неопр.) . — (англ.) ( , 1987. — ISBN 0-7167-1193-1 .

Ссылки

• Хайдар Нурлигареев. (неопр.) . Элементы. 16 августа 2013 года.
• (неопр.) . Растрёпанный Блокнот. 4 ноября 2011 года.
• Влад Алексеев. (неопр.) . Невозможный мир. 8 августа 2013 года.
• Wolfram Alpha учащимся
• Jaap Scherphuis. (неопр.) . Jaap's Puzzle Page. Дата обращения: 15 августа 2013. 2 сентября 2013 года.
• Don Hatch. (неопр.) . — Изображения усечённых гиперболических паркетов. Дата обращения: 20 августа 2013. 2 сентября 2013 года.
• David E. Joyce. (неопр.) . — Java-апплет для отрисовки правильных и квазиправильных паркетов на гиперболической плоскости. Дата обращения: 23 августа 2013. 2 сентября 2013 года.
• Vladimir Bulatov. (неопр.) . Joint MAA/AMS meeting, New Orleans (7 января 2011). Дата обращения: 20 августа 2013. 2 сентября 2013 года.
• Demonolog. Применение векторной графики для изображения непериодических замощений.